1、 - 1 - 东北三省三校 2020 届高三下学期第四次模拟考试 数学试卷(理科) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合 2 2 |40, |log1,Ax xxBxx则AB . 0,. 2,. 0,4. 0,2ABCD 2已知复数 2 1 i 1 i a z （i 为虚数单位，aR)，z 在复平面上对应的点在第四象限，则 a 的取值范围是 .2,0A .1,1B . 1,C .1,2D 3近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示 范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，
2、以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶 贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情 况，绘制了如图所示的柱状图则下列说法错误的是 A乡村游人数逐年上升 B相比于前一年，2015 年乡村游人数增长率大于 2014 年乡村游人数增长率 C近 8 年乡村游人数的平均数小于 2016 年乡村游人数 D从 2016 年开始，乡村游人数明显增多 4在等比数列an中 512 ,2,8,aaa则数列an前 7 项的和 S7= A253 B254 C255 D256 5执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 2，则输出 x 的值为 - 2 - A123 B125
3、C127 D129 6已知 ， 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，若,n ,m 则 m/n； 若 m/,n 则 m/n ； 若,n /,m ， ， 则 m n ； 若 ,mn /,则mn 在上述四个命题中，真命题的个数为 A1 B2 C3 D4 7已知函数 2 cos 4 x x x f x a 是偶函数，则函数 f x的最大值为 A1 B2 C. 1 2 D.3 8已知 为锐角，若 c，则 3 cos 45 ，则tan2 A. 7 10 B. 3 10 C. 1 3 D. 7 24 9 已 知 双 曲 线 22 22 .10,0 xy Cab ab 的 左 、 右 焦 点 分 别 为
4、F1， F2， 圆O： 2222 0xyab与双曲线的一个交点为 P，若 12 |3|,PFPF则双曲线的离心率为 A2 31 . 2 B C2 . 31D 10把函数 cos0 3 f zx 的图象向左平移 6个单位后得到函数 g x的图象， 函数 g(x)图像的一条对称轴为直线 6 x ，若函数 f x在 2 , 33 上单调递增，则 的取 值范围是 A2 或 5 B2 或 3 C2 D5 11已知三棱锥 P-ABC(记ABC所在的平面为底面)内接于球 O，PA：PB：PC=1：2：3，当 三棱锥 P-ABC 侧面积最大时，球 O 的体积为56 14 3 ，则此时ABC的面积为 A12 B
5、13 C14 D15 12若不等式 2 ln mx xmxe恒成立，则实数 m 的取值范围为 - 3 - 2 1111 .,.,.,., 2 ABCD eeee - 4 - 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 3已知实数 x，y 满足 0, 2 0, 2 0, xy xy x 则 z=2x+y 的最小值 14已知平面向量, ,| 2,|3,a b ab若34,aab则向量 a 与 b 的夹角的大小为 15 设 Sn为等差数列an的前 n 项和， 已知在 Sn 中只有 S1 最小， 则 1513_0 2SS. （填 “”或“=”或“”) 16已知抛物线 2 :4C yx的
6、焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，O 为坐 标原点，直线 OA、OB 与抛物线的准线分别相交于点 P，Q，则|PQ|的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17 21题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分 17(12 分) 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a、b、c，已知3( coscos)tanbaCAA (1)求角 A 的大小； (2)若ABC的面积为 3，且6,a 求 b，c. 18(12 分) 如图，在三棱锥 A-BCD 中，O 为 AB
7、 的中点，E 为 AC 的中点，F 为 AD 的中点， 2,2,DCACBCABDO平面 ABC (1)求证：平面 OEF/BCD平面； (2)求二面角 D-OE-F 的余弦值 - 5 - 19(12 分) “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用 如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献 爱心的参与者投币 100 元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有 一个红球，奖金 20 元，两个红球奖金 40 元，三个全为红球奖金 200 元。 (1)求一位献爱心参与者不能获奖的概率； (2)
8、若该次募捐有 300 位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望。 20(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为 F，上顶点为 B， 30 ,OBF 6 2,) 2 (A 点在椭圆 C 上。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，与 x 轴相交于点 M，与 y 轴的正半轴相交于点 N，T 为线段 PQ 的中点，若744OP OQOT OMOT ON为定值 n，请判断直线 l 是否过定 点，求实数 n 的值，并说明理由。 21(12 分) 已知函数 2ln x f xxeaxax a
9、R (1)若曲线 yf x；在点 (1,1 )f处的切线 l 过点(0, 21),e求实数 a 的值 (2)若函数 f x有两个零点，求实数 a 的取值范围。 - 6 - (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为： 3cos, sin x y ， （ 为参数)，以坐标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2 sin 3 2 4 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； (2)若点 P 在曲线 C 上，且点 P 到直线 l 的距离最小，求点 P 的坐标。 23选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数 |2|.f xxx (1)求不等式 1f x 的解集； (2)若2,2x 时 , f xmx恒成立，求实数 m 的值。 - 7 - - 8 - - 9 - - 10 -
