1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节调节 合适的观看比例合适的观看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 41 41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、选择题 1.(2019北京高考理科T8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一 (如图).给出下列三个结论: 曲线C恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ; 曲线C所
2、围成的“ 心形” 区域的面积小于 3. 其中,所有正确结论的序号是 ( ) A. B. C. D. 【命题意图】考查曲线与方程,距离问题,面积问题,对称性等,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能 力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】选 C.对,令x=0 得y=1,即曲线C过整点(0,1);令x=1 得 1+y2=1+y,y=0,1,即曲线C过 整点(1,0),(1,1),又由曲线关于y轴对称知,曲线C过整点(-1,0),(-1,1),结合图形知,曲线C不过其他 整点,所以正确; 对,只需考虑第一象限内的点,即x0,y0,设C上的点(x,y)到
3、原点的距离为d,则x2+y2=1+|x|y=1+xy 1+ ,x2+y22,d ,所以正确; 对,由知,SOAB= 11= ,S 正方形OBCD=11=1,所以S阴影=2( )=3,所以心形区域面积大于 3, 错误. 二、解答题 2.(2019全国卷理科T21)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过 D作C的两条切线,切点分别为 A,B. (1)证明:直线AB过定点. (2)若以E( )为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积. 【命题意图】 本题考查直线、 圆及其位置关系的应用,考查考生数学运算、逻辑推理的求解综合问题的能力. 【解析】(1)设D(
4、 - ),A(x1,y1),则 =2y1. 由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故 - =x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 设B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线AB的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线AB过定点( ). (2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+ . 由 可得x2-2tx-1=0. 于是x1+x2=2t,x1x2=-1, y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |AB|= |x1-x2|= - =2(t2+1). 设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离, 则d1= ,d2= . 因此,四边形ADBE的面积 S= |AB|
5、(d1+d2)=(t 2+3) . 设M为线段AB的中点,则M( ). 由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行, 所以t+(t2-2)t=0.解得t=0 或t=1. 当t=0 时,S=3;当t=1 时,S=4 . 因此,四边形ADBE的面积为 3 或 4 . 3.(2019全国卷文科T21)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过 D作C的两条切线,切点分别为 A,B. (1)证明:直线AB过定点. (2)若以E( )为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程. 【解题指南】(1)表示出直线AB的方程,求出直线所过的定点. (2)利用根与系数的关系及已知
6、条件,分别表示出,利用二者的关系解出参数后求圆的方程. 【解析】(1)设D( - ),A(x1,y1),则 =2y1. 由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故 - =x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 设B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线AB的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线AB过定点( ). (2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+ . 由 ,可得x2-2tx-1=0. 于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. 设M为线段AB的中点,则M( ). 由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)
7、t=0.解得t=0 或t=1. 当t=0 时,|=2,所求圆的方程为x2+( - ) =4; 当t=1 时,|= ,所求圆的方程为x2+( - ) =2. 4.(2019北京高考文科T19)已知椭圆C: + =1 的右焦点为(1,0),且经过点 A(0,1). (1)求椭圆C的方程. (2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ 与x轴交于点N,若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点. 【命题意图】 本小题主要考查椭圆方程及性质,直线与圆锥曲线位置关系,定点问题等,意在考查数形结合思 想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,
8、体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养. 【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2, 所以a2=2, 所以C的方程为 +y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 消去 y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0, 因为直线与椭圆有两个交点,所以必须0, x1+x2= - ,x1x2= - , 直线AP方程为y= - x+1,与y=0 联立得x= - - ,即 M( - - ), 同理,N( - - ), (y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1) =k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2 = - , 所以|OM
9、|ON|=| - - - - | =| - - |=| - - |=2, 所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或 0, 当t=0 时,式0,符合题意,所以直线l方程为y=kx, 所以直线l过定点(0,0). 5.(2019浙江高考T21)(本小题满分 15 分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点,过点F的 直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q 在点F右侧.记AFG,CQG的面积为S1,S2. (1)求p的值及抛物线的标准方程. (2)求 的最小值及此时点 G的坐标. 【命题意图】本题主要考
10、查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能 力和综合应用能力. 【解析】(1)由题意得 =1,即 p=2. 所以,抛物线的标准方程为y2=4x. (2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG). 令yA=2t,t0,则xA=t2. 由于直线AB过F,故直线AB的方程为x= - y+1,代入y2=4x,得y2- - y-4=0, 故 2tyB=-4,即yB=- ,所以 B( - ). 又由于xG= (xA+xB+xC),yG= (yA+yB+yC)及重心 G在x轴上,故 2t- +yC=0,得 C( - ) ( - ),G( -
11、). 所以,直线AC的方程为y-2t=2t( - ),得Q( - ). 由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而 = = | - - | | - - - | - | = - - =2- - - . 令m=t2-2,则m0, =2- =2- 2- =1+ . 当且仅当m= ,即 m= 时等号成立,所以 取得最小值 1+ ,此时G(2,0). 6.(2019江苏高考T17) 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂 线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F
12、2于点B, 连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1,已知DF1= . (1)求椭圆C的标准方程. (2)求点E的坐标. 【命题意图】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关 系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 【解题指南】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程. (2)方法一:由题意首先确定直线AF1的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B的坐标,联立直线BF2与椭圆 的方程即可确定点E的坐标; 方法二:由题意利用几何关系确定点E的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E的坐标. 【解析】(1)设椭圆C的焦距为 2c. 因为F1(
13、-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1= ,AF2x 轴,所以DF2= - =( ) - = , 因此 2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为 + =1. (2)方法一: 由(1)知,椭圆C: + =1,a=2, 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为 1. 将x=1 代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2. 由 - 得 5x 2+6x-11=0, 解得x=1 或x=- . 将x=- 代入y=2x+2,得
14、y=- , 因此B(- - ).又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1). 由 - 得 7x2-6x-13=0,解得x=-1 或x= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1 代入y= (x-1),得 y=- .因此 E(- - ). 方法二: 由(1)知,椭圆C: + =1.如图,连接EF1. 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B, 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由 - 得y= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=- . 因此E(- - ).
