1、精品文档“等差数列的前n项和”教案教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明新课引入创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+.+100=？问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2007年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利
2、一共还款多少万元？现实模型： 图片欣赏 生活实例模 型直 观用实际生活引入新课。探 索 公 式探 索 公 式议练活动认识公式认识公式议练活动课 堂总结首先认识一位伟大的数学家高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+.+100？设等差数列前n项和为 ,则 问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？（1） n为偶数时： （2） n为奇数时：老师：那么该如何解决落单的呢？同过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？ 问题2：如何
3、用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生带入等差数列的通项公式，换掉 整理得到公式2。例1：计算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。变式练习：课前提出的房贷问题。解:由已知每月还款数成等差数列,设为：问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 n剖析公式： 教师提示，从方程中量的关系入手。例2 等差数列-10，-6，-2，2， 前多少项的和为54
4、？ 解：设题中的等差数列是，前n项和为： 则10，d6（10）4 令54，由等差数列前n项和公式，得： 解得 9，3（舍去）因此,等差数列的前9项和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容2、课后作业：教材118页：1、2、3、5、6、7 课后思考： 等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在张丘建算经中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善
5、织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”学生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于 。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。 当n为奇数时，中间的一项落单了。（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）学生：观察的脚标与 脚标的关系，即： 学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。 （由上一问题的解决，学生
6、容易想到倒序相加求和法。） 学生：利用倒序相加求和法。将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。 观察多媒体课件演示。学生：要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。 学
7、生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 了解我国古代研究等差数列求和的情况。高斯求和众所周知，学生能
8、快速解答。 这里用到了等差数列脚标和性质 从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中间项的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题提出问题解决问题”的过程通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。（2）东西全紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比
9、化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。人民广场地铁站有一家名为“漂亮女生”的饰品店，小店新开，10平方米不到的店堂里挤满了穿着时尚的女孩子。不几日，在北京东路、淮海东路也发现了“漂亮女生”的踪影，生意也十分火爆。现在上海卖饰品的小店不计其数，大家都在叫生意难做，而“漂亮女生”却用自己独特的经营方式和魅力吸引了大批的女生。是 否标题：大学生“负债消费“成潮流 2004年3月18日（一）创业机会分析通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。3、竞争对手分析（一）DIY手工艺品的“多样化”二、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：（1）根据实际教学情
10、况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。2003年，上海市总人口达到1464万人，上海是全国第一个出现人口负增长的地区。（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。（2）东西全（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。（5）目标达成 本课注重在课堂教学活动中实现目标。 提出实际问题 知识与技能目标1 例题讲解 知识与技能目标2 深化理解 知识与技能目标3 活动参与 过程与方法目标 感悟数学史 情感与价值目标应为培养出创新人才新型的高斯而努力。精品文档
