1、1 第第 二二 章章 随随 机机 变变 量量 及及 其其 分分 布布2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一一 主要内容主要内容1.随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2.分布函数的性质分布函数的性质3.离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其分布函数4.常见离散型随机变量及其分布律常见离散型随机变量及其分布律(1).两点分布两点分布,(2)二项分布二项分布(3)泊松分布泊松分布 5.连续型随机变量及其分布函数连续型随机变量及其分布函数36 常见连续型随机变量及其分布密度常见连续型随机变量及其分布密度(1)均匀分布均匀分布 (2)正态分布正态分布(3)指数分布指数分布 7.随机
2、变量简单函数的分布随机变量简单函数的分布4二二.应记忆的公式应记忆的公式 (1)(2)计算公式计算公式:离散离散型型 xxkkxXPxF)()(xdxxpxF)()(连续型(3)若XN,则Y=N(0,1)(4)常见6种随机变量的分布律或分布密度)()(xXPxF5(5)正态分布概率的计算公式正态分布概率的计算公式 若若 XN ,则则1)2)3)-()(xxXP)-(1)(xxXP)-(-)-()(1221xxxXxP)-b-(-)-b(1)(1)|(|1)|(|bXbPbXPbXP4)6三三 例题分析例题分析例例1 从一批产品包括从一批产品包括10件正品件正品,3件次品中重复抽取件次品中重复抽
3、取,每次取每次取1件直到取得正品为止，若每件产品被抽到件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同的机会相同,求抽取次数求抽取次数X的分布律的分布律解解 P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286 故故 X 的分布律为的分布律为 X1234P10/135/265/1431/2867例例2 设随机变量设随机变量X的分布密度为的分布密度为试求试求 X的分布函数的分布函数F(x).解：解：当当x0时，时，当当
4、时，时，当当 时时，其他021210)(xxxxxfxdxxfxF0)()(10 x2)(20 xxdxxFx21x122)2()()(2101xxdxxxdxdxxfxFxx8 当当 时，时，故故X的分布函数为的分布函数为例例3 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为 2x21101)2()(dxxxdxxF2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxFX-2-1013P1/51/61/51/1511/309 求求 的分布律。的分布律。解：解：由由X的分布律有的分布律有Y取值为取值为4,1,0,9 PY=0=PX=0=1/5 PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15
5、=7/30 PY=4=PX=2+PX=-2=0+1/5=1/5 PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30 故故Y的分布律为的分布律为2XYY0149P1573015113010 例例4 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:（1）A的值；的值；（2）X落在（落在（0.2,0.6）内的概率；）内的概率；(3）X的密度函数的密度函数 f（x）。解解:（1）由）由 F(x)连续性有连续性有 F(1)=,而而 而而F(1)1 故故A=11,110,0,0)(2xxAxxxF)(lim1xFxAAxxFxx211lim)(lim11(2)P0.2X0.6=F(0.6)-F
6、(0.2)=(3)当当 当当 故故 例例5 已知随机变量已知随机变量X P|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定确定c和和d的值。的值。解：解：已知已知 P|x-10|c=P|X-10|/2c/2 =32.02.06.022)()(xFxf0)(,10 xFxx时或xxFx2)(10时，其它,010,2)(xxxf)2,10(2N95.01)2/(2 c12 所以所以 查表得查表得 c/2=1.96 故故 c=3.92 又已知又已知 PXd=查表得查表得 既既 d=6 例例6 设随机变量设随机变量 ，且已知，且已知 试求试求X落在区间（落在区间（9.95,10.05）内的概率）内的
7、概率.975.0)2/(c023.0)210(d2210d)02.0,10(2NX,9938.0)5.2(,21)(22xtdtex13 解：解：例例7 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 求求X的分布函数的分布函数 F(x).解：解：当当x1时时，F（x）0当当 ，F(x)=P(X=-1)=1/605.1095.9 XP9876.01)5.2(2)5.2()5.2(02.01095.902.01005.10X-123P1/61/21/3时21x14当当 ，F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=1/6+1/2=2/3当当 时时,F(x)=PX=-1+PX=2+PX=3=1故故时3
8、2 x3x3,132,3/221,6/11,0)(xxxxxF15第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布练习与答案练习与答案1一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。2重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。)10(pppq116 4已知某元件使用寿命服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（
9、2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数的分布律 5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？100001)8,40(2NX)4,50(2NX17 6设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。7设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数.8设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数.9在箱中装有12只球，其中2只黑
10、球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况：（1）写出 的联合分布列；（2）判断 是否独立。U,22轾 pp犏-犏臌U 0,p2,0UXYsin),(2NXYX,),(YXYX,18 10设 的联合密度函数为 求（1）常数 ；（2）；（3）；（4）是否独立。11设相互独立，且密度函数分别为 求.12设 相互独立，均服从标准正态分布 求 的密度函数。),(YX22Cf x yx y1x1y=-+(,),()()CP 0X1 0Y1 (,)XYff,YX,其他,0)2.0,0(,5 xfX其他,00,55yefyY）（Y
11、XPYX,)1,0(NXZY=19 13设随机变量（）的概率密度为 求 的概率密度。X,Y其他,0;10),1)(120),(xyxyxyyxfXYZ/20参考答案参考答案1分布列 P 234（1）；（2）5（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6 X0123 75.0204.0041.005.0)4,3,2(11nqppqnn956.0)1()0(1)2(XPXPXP61.010,3,2,1,0,)1()(10212110keeCkXPkk3125.02121)2(3225CYP217（1）；（2）；（3）；8 9（1）有回放：0 1 0 1 此时，相互独立1,11)(21xxxf10,12)(22xxxf1,11)(23xxxf.7,1;74,44;4,0)(yyyyyFy3625365365361YX,22（2）无回放：0 1 0 1 此时，不独立10（1）；（2）；（3）（4）相互独立1112 664566106610661YX,21C161)1(1,)1(122yfxfYXYX,1e)1(1)(2zzfZ23 13 其他其他,010,830879610)(972xxxxxxfZ
