1、三三.函数的周期性函数的周期性 函数的周期性函数的周期性如果函数如果函数y yf f(x x)对于定义域内任意的对于定义域内任意的x x，存，存在一个不等于在一个不等于0 0的常数的常数T T，使得，使得f f(x xT T)f(x)f(x)恒成立，则称函数恒成立，则称函数f(x)f(x)是周期函数，是周期函数，T T是它是它的一个周期的一个周期.一般情况下，如果一般情况下，如果T T是函数是函数f(x)f(x)的周期，则的周期，则kT(kNkT(kN)也是也是f(xf(x)的周期的周期.【例题讲解】2ax xxf 11log)(2111 x011log2 xx 11x 11log211log
2、)2(11log)2(22 xxxf)1(log11log)(22 xxxf例例3.3.已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x,x,都有都有f(xf(xm)m)f(x),f(x),求证求证:2m:2m是是f(x)f(x)的一个周期的一个周期.证明：因为证明：因为f(xf(xm)m)f(x)f(x)所以，所以，f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm f(xf(xm)m)f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m为周期的周期函数为周期的周期函数.例例4.4.已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x,x,都有都有f(xf(xm)m)f(xf(xm
3、),m),求证求证:2m:2m是是f(x)f(x)的一个周的一个周期期.证明：因为证明：因为f(xf(xm)m)f(xf(xm)m)令令x xm mt t，则，则x xm mt t2m2m于是于是f(tf(t2m)2m)f(t)f(t)对于对于tRtR恒成立，恒成立，所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m为周期的周期函数为周期的周期函数.例例5.5.已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x,x,都有都有f(xf(xm)m)x(f1)x(f1,求证求证:2m:2m是是f(x)f(x)的一个周期的一个周期.证明：由已知证明：由已知f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm 1
4、()11()1()1()1()11()f xf xmf xf xf xmf x f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m为周期的周期函数为周期的周期函数.例例6.6.已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x,x,都有都有f(xf(xm)m),求证求证:4m:4m是是f(x)f(x)的一个周期的一个周期.)x(f1)x(f11()11()11()1()1()()11()f xf xmf xf xf xmf xf x )m2x(f1证明：由已知证明：由已知f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm 于是于是f(xf(x4m)4m)f(x)f(x)所以所以f(x)
5、f(x)是以是以4m4m为周期的周期函数为周期的周期函数.例例7.7.已知函数已知函数f(x)f(x)对任意实数对任意实数x,x,都有都有f(af(ax)x)f(af(ax)x)且且f(bf(bx)x)f(bf(bx),x),求证求证:2|a:2|ab|b|是是f(x)f(x)的一个周期的一个周期.(ab).(ab)证明：不妨设证明：不妨设a ab b于是于是f(xf(x2(a2(ab)b)f(af(a(x(xa a2b)2b)f(af(a(x(xa a2b)2b)f(2bf(2bx)x)f(bf(b(x(xb)b)f(bf(b(x(xb)b)f(x)f(x)2(a 2(ab)b)是是f(x)
6、f(x)的一个周期的一个周期当当a ab b时同理可得时同理可得所以，所以，2|a2|ab|b|是是f(x)f(x)的周期的周期例例8.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为N，且对任意正，且对任意正整数整数x，都有，都有f(x)f(x1)f(x1)若若f(0)2004，求，求f(2004)解：因为解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得两式相加得0f(x1)f(x2)即：即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)f(x)是以是以6为周期的周期函数为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)2004 )Z(,34 14),24()Z(1
7、4 14,4)(mmmxmxmmmxmxxf，例例10.10.已知对于任意已知对于任意a a，bRbR，有，有f(af(ab)b)f(af(ab)b)2f(a)f(b)2f(a)f(b)，且，且f(x)0f(x)0求证：求证：f(x)f(x)是偶函数；是偶函数；若存在正整数若存在正整数m m使得使得f(m)f(m)0 0，求满足，求满足f(xf(xT)T)f(x)f(x)的一个的一个T T值值(T0)(T0)证明：令证明：令a ab b0 0得，得，f(0)f(0)1(f(0)1(f(0)0 0舍去舍去)又令又令a a0 0，得，得f(b)f(b)f(f(b)b)，即，即f(x)f(x)f(f
8、(x)x)所以，所以，f(x)f(x)为偶函数为偶函数令令a ax xm m，b bm m得得f(xf(x2m)2m)f(x)f(x)2f(x2f(xm)f(m)m)f(m)0 0所以所以f(xf(x2m)2m)f(x)f(x)于是于是f(xf(x4m)4m)f(xf(x2m)2m)2m2m=f(xf(x2m)2m)f(x)f(x)即即T T4m(4m(周期函数周期函数)例例11.11.数列数列aan n 中，中，a a1 1a a，a a2 2b b，且且a an n2 2a an n1 1a an n(nN(nN)求求a a100100；求求S S100100.解：由已知解：由已知a a1
9、 1a a，a a2 2b b，所以所以a a3 3b ba a，a a4 4a a，a a5 5b b，a a6 6a ab b，a a7 7a a，a a8 8b b，由此可知，由此可知，aan n 是以是以6 6为周期的周期数列，为周期的周期数列，于是于是a a100100a a6 616164 4a a4 4a a又注意到又注意到a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 60 0 S S100100a a1 1a a2 2a a3 3a a9696a a9797a a9898a a9999a a100100 0 0a a9797a a9898a a9999a
10、 a100100 a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4 a ab b(b(ba)a)(a)a)例例12.12.对每一个实数对对每一个实数对x,y,x,y,函数函数f(t)f(t)满足满足f(xf(xy)y)f(x)f(x)f(y)f(y)xyxy1,1,若若f(f(2)=2)=2,2,试求满足试求满足f(a)f(a)a a的所有整数的所有整数a.a.解：令解：令x xy y0 0，得，得f(0)f(0)1 1再令再令x xy y1 1，得，得f(f(2)2)2f(2f(1)1)2 2，又，又f(f(2)2)2 2所以所以f(f(1)1)2 2又令又令x x1 1，y y1 1，可得
11、，可得f f1 1令令x xy y1 1得得f f2f2f1 11 14 4令令y y1 1，得，得f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2即即f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2 当当x x取任意正整数时，取任意正整数时，f(xf(x1)1)f(x)f(x)0 0又又f f1 10 0所以所以f(x)f(x)0 0于是于是f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2x x1 1即对任意大于即对任意大于1 1的正整数的正整数t t，f(t)f(t)t t在在中，令中，令x x3 3，得，得f(f(3)3)1 1，进一步可得进一步可得f(f(4)4)1 1注意到注意到f(
12、x)f(x)f(xf(x1)1)(x(x2)2)所以当所以当xx4 4时，时，f(x)f(x)f(xf(x1)1)0 0即即f(x)f(x)f(xf(x1)1)f(xf(x2)2)f(f(4)4)1 1所以所以xx4 4时，时，f(x)f(x)x x综上所述，满足综上所述，满足f(a)f(a)a a的整数只有的整数只有a a1 1或或a a2 2例例13.13.设设f f(x x)是一个从实数集是一个从实数集R R到到R R的一个映射的一个映射,对于对于任意的实数任意的实数x x,都有都有|f f(x x)|1,)|1,并且并且 f(x)+f(x)+)71x(f)61x(f)4213x(f求证
13、求证:f f(x x)是周期函数是周期函数.1376()()()424242f xf xf x)426x(f)4213x(f)x(f)427x(f证明：由已知证明：由已知f(x)+f(x)+所以所以19124942()().()()42424242f xf xf xf x42497()()()()424242f xf xf xf x即（1）714943()()()()42424242f xf xf xf x同理可得)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f4249712 ()()()()424242f xf xf xf x由（）（）可得431442()()()()424242
14、428442.()()4242f xf xf xf xf xf x (2)(2)于是于是f(xf(x1)1)f(x)f(x)f(xf(x2)2)f(xf(x1)1)，记这个差为记这个差为d d同理同理f(xf(x3)3)f(xf(x2)2)f(xf(x2)2)f(xf(x1)1)d d f(x f(xn n1)1)f(xf(xn)n)f(xf(xn)n)f(xf(xn n1)1)f(xf(x1)1)f(x)f(x)d d即是说数列即是说数列f(xf(xn)n)是一个以是一个以f(x)f(x)为首项，为首项，d d为公为公差的等差数列差的等差数列因此因此f(xf(xn)n)f(x)f(x)ndn
15、df(x)f(x)nf(xnf(x1)1)f(x)f(x)对所有的自然数对所有的自然数n n成立，而对于成立，而对于xRxR，|f(x)|1|f(x)|1，即即f(x)f(x)有界，故只有有界，故只有f(xf(x1)1)f(x)f(x)0 0即即f(xf(x1)1)f(x)xRf(x)xR所以所以f(x)f(x)是周期为是周期为1 1的周期函数的周期函数.练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1),f(0)2004，求f(2004)3.函数f(x)是定义域为R且以2
16、为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|；当x2k,2k+2(kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。1.数列数列an中，中，a1a，a2b，且，且an2an1an(nN)求求a100；求求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2ba2.2.已知函数已知函数f f(x x)的定义域为的定义域为N
17、N，且对任意正整数，且对任意正整数x x，都有都有f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)若若f f(0)(0)20042004，求，求f f(2004)(2004)解：因为解：因为f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)所以所以f f(x x1)1)f f(x x)f f(x x2)2)两式相加得两式相加得0 0f f(x x1)1)f(xf(x2)2)即：即：f f(x x3)3)f f(x x)f f(x x6)6)f f(x x)xxxf 121)(251)5()5(fg132)(xxxf232527练习练习1已知函数已知函数 ，函数，函数y=g
18、(x)的图像与的图像与y=f-1(x+1)的图像关于直线的图像关于直线y=x对称，则对称，则g(11)的值为：的值为：A B1 C D 2已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)的反函数为的反函数为f-1(x)，且函数且函数y=f(x+1)的反函数为的反函数为y=f-1(x+1)。若。若f(1)=3999求求f(2000)3.3.对于任意的对于任意的 ,函数f(x)表示 x2-4x+3中的较大者中的较大者,则求函数则求函数f(x)的解析式及的解析式及f(x)的最小值的最小值.(f(x)min=2)Rx,2123,3xx1 (，1)1(22012mmmmx)aaa(nxyn 2122222
19、21)()()(naxaxaxy 22221naaa naaaxn2)(221 naaan 21naaaan 21 2 ,mxmxfsin2)(34212 mm21 12,2min mymmaxy2mt 12 m14212222 mmmtty 0 12，m 0 12，m114)2(2min mmmfy22 kx 1 02，m 1 02，m114)2(2min mmmfy33621)1(2max mmfy22 kx)1(2 ，m)1(2 ，m13221)1(22min mmmfy222 m3621)1(2max mmfy3)222(6)222(212 21621 22 kx22 k22 k21621 0 2，22 k21 M21 M2121212121212121121 ba2121 b21121 ba2123 b21 M21 M21 M21|)0(|bf2121 b 2112121121baba2123 b21 b21 b 1001aa21 M21)(2 xxf
