1、2.8 线性代数法建模一、常染色体遗传模型一、常染色体遗传模型随着人类的进化，科学家为了揭示生命的奥秘，越来随着人类的进化，科学家为了揭示生命的奥秘，越来越重视遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，越重视遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们极大关注引起人们极大关注.事实上，无论是人，还是动、植物，事实上，无论是人，还是动、植物，都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对继承了双亲的基因，形成了自己的基因对.而基因对确而基因对确定了后代所表现的特征定了后代所表现的特征.试就常染色体遗传问题，根据试
2、就常染色体遗传问题，根据亲体基因遗传给后代的方式，建立遗传数学模型，求亲体基因遗传给后代的方式，建立遗传数学模型，求出逐代总体的基因型的概率分布，特别是极限分布出逐代总体的基因型的概率分布，特别是极限分布.亲体基因遗传方式与问题亲体基因遗传方式与问题遗传遗传方式方式在常染色体遗传中，后代是从每个亲体在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型的基因对，基因对也称基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因如果所考虑的遗传特征是由两个基因A A和和a a控制控制的，那么就有三种可能的基因对，分别记为的，那么就有三种可
3、能的基因对，分别记为AAAA，AaAa与与aaaa基因型基因型A,AA,AA,A,a aa,aa,a鱼腥草花的颜色鱼腥草花的颜色红花红花粉红色花粉红色花 白花白花人类的眼睛人类的眼睛棕色棕色棕色棕色蓝色蓝色例例如如 412121AAAAP P 后代基因型为后代基因型为2121212121aPA A后代基因型为后代基因型为后代基因发生的概率后代基因发生的概率由于后代均可以从由于后代均可以从AaAa型中等可能地得到基因型中等可能地得到基因A A与与a a，于是由概率的于是由概率的“加法、乘法公式加法、乘法公式”得：得：412121aa后代基因型为后代基因型为P P一般地，利用简单的概率计算，可得双
4、亲体一般地，利用简单的概率计算，可得双亲体基因型的结合及后代基因型的概率分别表基因型的结合及后代基因型的概率分别表.后代后代(第第n代代)基因型基因型父体父体母体（第母体（第n-1代）基因型代）基因型AA,AAAA，AaAA，aaAa，AaAa，aaAa，aaAAAaaa0 01 11/21/20 01/21/20 01 10 00 01/41/41/21/21/41/40 01/21/20 01 11/21/20 0问问题题某农科所计划采用某农科所计划采用aaaa型植物与每种基因型植型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，求经过若干物相结合的方案培育植物后代，求经过若干年后，这种植物
5、任一后代的三种基因型年后，这种植物任一后代的三种基因型AA,AA,Aa,aaAa,aa的概率分布的概率分布.模型假设模型假设1:),(,2,1,0,),(,000000)0()()(cbacbaxncbaxnxaaAaAAncbaTTnnnnnnnn且且满满足足表表示示植植物物的的初初始始分分布布，这这里里基基因因型型分分布布：代代植植物物的的为为第第概概率率），且且记记的的植植物物所所占占的的百百分分率率（代代的的植植物物中中基基因因型型为为分分别别表表示示第第记记第第n-1n-1代与第代与第n n代的基因型分别关系由上表确定代的基因型分别关系由上表确定.模型建立模型建立由假设及双亲体基因型
6、结合及其后代基因型概由假设及双亲体基因型结合及其后代基因型概率分布表，运用全概率公式，得：率分布表，运用全概率公式，得：aa,AAaa,AAaa,Aaaa,Aaaa,aaaa,aaAAAA0 00 00 0AaAa1 11/21/20 0aaaa0 01/21/21 1;0000111nnnncbaaAA型，有型，有对于对于;21121011111nnnnnncbcbaaaa型，有型，有对于对于;21021111111nnnnnnbacbabAa型，有型，有对于对于1000111cbacbacbannnnnn显然，有显然，有 111121210nnnnnnncbcbaba12/1002/110
7、00M M若记若记把上述关系整理为方程组的形式：把上述关系整理为方程组的形式：,3,2,1,)1()(nMxxnn)0()()0()2(2)1()(,xMxxMxMMxxnnnnnn即即从而有：从而有：数学模型：代基因型分布的矩阵基则得第n n他表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵他表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M M确定确定.0)1)(21(1210021100|M ME E由由1,21,0321的三个特征值的三个特征值M00012/1002/1100003211xxx对应的方程组为：对应的方程组为：对于对于模型求解模型求解为了计算为了计算M Mn n,需先将需先将M M对角化对角化.
8、T），（的特征向量为的特征向量为得属于得属于12101,02/12/10001002/1213212xxx，对应的方程组为：，对应的方程组为：对于对于T)1,1,0(2的特征向量的特征向量得属于得属于002/1002/11001:13213xxx对应的方程组为对应的方程组为对于对于T)1,0,0(3的特征向量的特征向量得属于得属于 111012001P P,1 10 00 00 01/21/20 00 00 00 0D D可逆矩阵可逆矩阵对角型矩阵对角型矩阵于是得：于是得：101012001110010001100111010012001001|）由（由（E EP P1110120011000
9、10001P PP P11101200111110120011000)21(00001110120011nnnPPDM M 1110120011000)21(00001110120011nnnPPDM M1)21(1)21(10)21()21(0001110120011)21(00)21(000011nnnnnn00011)0(1)21(1)21(10)21()21(000),(cbaxMcbannnnnTnnn,2,1221220010010nbacbabannnnnnn,0210nn）时，有（时，有（由于当由于当1,0,0nnncba即在极限的情况下，培育的后代都是即在极限的情况下，培育的
10、后代都是aaaa型型.模型模型讨论讨论在上述问题中，若是具有相同基因型植在上述问题中，若是具有相同基因型植物结合，后代的概率分布又如何呢？物结合，后代的概率分布又如何呢？后代基因型后代基因型父体父体母体基因型母体基因型AAAAAaAaaaaaAA11/40Aa01/20aa01/41相同基因型结合之后代基因型的概率分布相同基因型结合之后代基因型的概率分布14/1002/1004/11M 0)21()1(14/1002/1004/11|2|M M-E E由由21,1321的特征值为的特征值为得得M MTTT)1,2,1(,)1,0,0(,)1,0,1(类似地，通过计算可求得相应的特征向量：类似地
11、，通过计算可求得相应的特征向量：1112001012/100010001P PD D，于是得于是得)0(1)0(),xPPDxMcbannTnnn（000111)21(2100)21(00)21(211cbannn0001000001021)21(210)21(21)21(21cbbccbbbabaannnnnn结果表明，如结果表明，如果用相同基因果用相同基因型植物培育后型植物培育后代，在极限情代，在极限情况下，后代仅况下，后代仅有基因有基因AAAA型和型和aaaa型型.二、投入产出模型背背景景介介绍绍投入产出分析是线性代数理论与方法在经济分析与投入产出分析是线性代数理论与方法在经济分析与管理
12、中的一个重要应用，它从数量上考虑经济系统管理中的一个重要应用，它从数量上考虑经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系内部各部门间生产和分配的线性关系.投入产出分析投入产出分析方法也称为投入产出法或投入产出技术，这一方法方法也称为投入产出法或投入产出技术，这一方法是美国经济学家、哈佛大学行政管理学院列昂节夫是美国经济学家、哈佛大学行政管理学院列昂节夫教授于教授于2020世纪世纪3030年代首先提出的年代首先提出的.列昂节夫也因提出列昂节夫也因提出此方法获得了此方法获得了19731973年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖.投入产出分析是研究一个经济系统（企业、地区、国家等）投入产出分析是研究一个
13、经济系统（企业、地区、国家等）中各部门之间中各部门之间“投入投入”与与“产出产出”的数量关系，建立相应的数量关系，建立相应的数学模型的数学模型.这种数学模型可以用于分析中观或宏观经济这种数学模型可以用于分析中观或宏观经济部门之间的联系，也可用于分析中观或微观的经济系统，部门之间的联系，也可用于分析中观或微观的经济系统，并进行预测并进行预测.一般的投入包括一般的投入包括（1 1）从其他部门购进原料、能源、半成品、辅）从其他部门购进原料、能源、半成品、辅助材料等；助材料等；（2 2）购进适当的机器设备及生产工具等；）购进适当的机器设备及生产工具等；（3 3）投入一定数量具有一定技能的劳动力。）投入
14、一定数量具有一定技能的劳动力。这三部分的总和称为经济活动中的投入。这三部分的总和称为经济活动中的投入。一般产出包括：在一定投入条件下，从事某种经一般产出包括：在一定投入条件下，从事某种经济活动时所产生的一定数量的成果。济活动时所产生的一定数量的成果。投入产出按计量单位不同，可分为：价值型和实投入产出按计量单位不同，可分为：价值型和实物型。在价值型中，各部门的投入、产出以货币物型。在价值型中，各部门的投入、产出以货币单位表示；在实物型中，则以产品的事物单位表单位表示；在实物型中，则以产品的事物单位表示（如米、公斤、量、台等）。示（如米、公斤、量、台等）。投入产出综合平衡模型投入产出综合平衡模型设
15、某地区经济系统仅由农业、工业和服务业三个部门设某地区经济系统仅由农业、工业和服务业三个部门构成，已知基于某年它们之间生产分配功效的体积数构成，已知基于某年它们之间生产分配功效的体积数据如下表所示：据如下表所示：消耗部门消耗部门最终最终需求需求yi总产总产出出xi农业农业工业工业服务业服务业生生产产部部门门农业农业27442120193工业工业58110101821371624966服务业服务业232841539601420新创造价值新创造价值zi85136281083总投入总投入xi193249661420部门间投入产出表部门间投入产出表 （单位：万元）（单位：万元）试就投入产出综合平衡建立数
16、学模型，并对下一年的试就投入产出综合平衡建立数学模型，并对下一年的经济发展进行预测和分析经济发展进行预测和分析.表中所研究的农业、工业、服务业三个部门都具表中所研究的农业、工业、服务业三个部门都具有双重身份：生产部门和消耗部门。有双重身份：生产部门和消耗部门。第一行数字：第一行数字：27+44+2+120=19327+44+2+120=193 表示农业总产出为表示农业总产出为193193万元，其中万元，其中2727万元用于农万元用于农业本身，业本身，4444万元用于工业，万元用于工业，2 2万元用于服务业，万元用于服务业，剩下的剩下的120120万元用来满足最终需求（包括消费、万元用来满足最终
17、需求（包括消费、积累、出口等）积累、出口等）第一列数字：第一列数字：27+58+23+85=19327+58+23+85=193 表示农业对农业的投入为表示农业对农业的投入为2727万元，工业对农业的万元，工业对农业的投入为投入为5858万元，服务业对农业的投入为万元，服务业对农业的投入为2323万元，万元，8585万元是农业新创造的价值（包括工资、税收等）万元是农业新创造的价值（包括工资、税收等）表格分析表格分析 1 1）每个生产部门只生产一种产品，不同部门的）每个生产部门只生产一种产品，不同部门的产品不能互相代替；产品不能互相代替；2 2）每个部门在生产过程中至少要消耗另一个部）每个部门在
18、生产过程中至少要消耗另一个部门的产品（也称为另一部门对该部门的投入），门的产品（也称为另一部门对该部门的投入），所消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产量所消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产量成正比。成正比。以下标以下标1 1，2 2，3 3分别表示农业、工业和服务业；分别表示农业、工业和服务业；.的最终需求的最终需求表示部门表示部门的产值；的产值；在生产过程中消耗部门在生产过程中消耗部门表示部门表示部门的总产出；的总产出；表示部门表示部门令令iyijxixiiji模型假设模型假设模型建立模型建立 产品分析平衡方程组产品分析平衡方程组 部门部门j j对部门对部门i i的直接消耗系数或投入系
19、数：的直接消耗系数或投入系数：例例2.xls2.xls 直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵:333323132232221211312111yxxxxyxxxxyxxxx3,2,1,jixxajijij333231232221131211Aaaaaaaaaa 1077.00114.01192.01282.04410.03005.00014.00018.01399.0A:,并代入平衡方程组并代入平衡方程组由消耗系数由消耗系数jijijjijijxaxxxa这里这里a a1212=0.0018=0.0018表示生产表示生产1 1个单位产值的工业产个单位产值的工业产品需消耗品需消耗0.00180.00
20、18个单位产值的农产品；个单位产值的农产品；a a3131=0.1192=0.1192表示生产表示生产1 1个单位产值的农产品需消个单位产值的农产品需消耗耗0.11920.1192个单位的服务业产值个单位的服务业产值.利用直接消耗系数矩阵，可将产品分配平衡方利用直接消耗系数矩阵，可将产品分配平衡方程组表示成矩阵形式程组表示成矩阵形式.得：得：)3,2,1(321iyxxxxiiiii 333323213132323222121213132121111yxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxaxTTyyyxxx),(,),(321321Y YX X最终需求向量最终需求向量记总产值向量记总产值
21、向量Y YA)XA)XI IY YAXAXX X(或或则有矩阵形式：则有矩阵形式：析的基本数学模型。析的基本数学模型。这就是静态投入产出分这就是静态投入产出分其中其中I I为三阶单位方阵为三阶单位方阵 3,2,1,321jzxxxxjjjjj得：得：带入上式（方程组），带入上式（方程组），将将jijijxax 若考虑新创造价值，记若考虑新创造价值，记z zj j为部门为部门j j的新创造价值，的新创造价值，则得产值构成平衡方程组：则得产值构成平衡方程组：333332331332232222212211311211111zxaxaxaxzxaxaxaxzxaxaxax这就是（静态）投入产出分析的
22、基本数学模型之二这就是（静态）投入产出分析的基本数学模型之二.njiaij,2,1,101中所有元素满足中所有元素满足性质性质 A Anjaniij,2,1,1121，即，即中各列元素之和小于中各列元素之和小于性质性质 A A模型求解模型求解利用投入产出分析的基本数学模型，可以进行更利用投入产出分析的基本数学模型，可以进行更为深入的经济分析为深入的经济分析.为此，首先讨论直接消耗系为此，首先讨论直接消耗系数矩阵的性质数矩阵的性质.),2,1(,0),()(),2,1(0,),(),2,1(1),2,1,(10)(11211nixxxAniyyyynjanjiaaniTniTnniijijij且
23、且）（有解（唯一解）：有解（唯一解）：这里这里则方程则方程中中其其那么若已知那么若已知以及以及具有性质具有性质阶方阵阶方阵如果如果定理定理Y YA AI IX XX XY YX XI IY YA A 1077.00114.01192.01282.04410.03005.00014.00018.01399.0A8923.00014.01192.01282.05590.00035.00014.00018.08601.0A AI I模型应用模型应用对于本例，有对于本例，有1243.10234.01640.02591.07962.16635.00024.00038.01643.1)(1AI）（）（则可
24、算得：则可算得：4.49651781.2121,1,1,2,2Y YA AI IX X4.1496,25178,1.212321xxx总产出分别为：总产出分别为：门的门的、工业、服务业三个部、工业、服务业三个部于是可预测下一年农业于是可预测下一年农业如果给定下一年计划的最终需求量：如果给定下一年计划的最终需求量：Y=Y=（135135，1382013820，10231023）T T.),3,2,1()3,2,1,(依据依据表），从而为决策提供表），从而为决策提供门的新创造价值（如下门的新创造价值（如下间的流量和各部间的流量和各部即可预测下一年各部门即可预测下一年各部门和和可得到可得到利用这一结
25、果，进一步利用这一结果，进一步jzjixaxjjijij 消耗部门消耗部门最终最终需求需求yi总产总产出出xi农业农业工业工业服务业服务业生生产产部部门门农业农业29.745.32.1135212.1工业工业63.511103.2191.31382025178.0服务业服务业25.37.0161.110231496.4新创造价值新创造价值zi93.613742.51141.9总投入总投入xi212.125178.01496.4计划期部门间投入产出表计划期部门间投入产出表 （单位：百万元）（单位：百万元）本内容要求本内容要求会熟练计算直接消耗系数（矩阵）；会熟练计算直接消耗系数（矩阵）；给定最终需求量给定最终需求量Y Y，会编制计划期投入产出表，会编制计划期投入产出表.
