1、第六章二次型第六章二次型212111121211(,)22nnnf xxxa xa x xa x x 12,nx xx222223232222nna xa x xa x x 2333332nna xa x x 2nnnax一、元二次型的概念一、元二次型的概念的二次齐次多项式的二次齐次多项式定义定义5.1 含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或记为或记为当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2
2、2212111222(,)nnnnf x xxa xa xax称为二次型的称为二次型的标准形标准形特别地，称特别地，称22221211(,)nppp qf x xxxxxx 为二次型的为二次型的规范形规范形()pqn 1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 212111121211(,)nnnf xxxa xa x xa x x 2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xa x xa x 11ijnnijija x x 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 则二次型则二次型 Tfx Ax 其
3、中矩阵其中矩阵为对称矩阵为对称矩阵.令令12nxxXx 任一二次型任一二次型对称对称矩阵矩阵!任一对称矩阵任一对称矩阵二次型二次型!一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的二次型；的二次型；称为二次型称为二次型的矩阵；的矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为二次型的秩称为二次型的秩的秩3 3）复数域上的元二次型）复数域上的元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x 例例1 1）实数域上的元二次型）实数域上的元二次型 2 2）实数域上的元二次型实
4、数域上的元二次型练习练习写出下列二次型的对称矩阵写出下列二次型的对称矩阵(二二)线性变换线性变换定义定义5.2 关系式关系式11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 12,nxxx，称为由变量称为由变量12,nyyy，到变量到变量的一个线性变量替换的一个线性变量替换,简称简称线性替换线性替换矩阵矩阵111212122212nnnnnnccccccCccc 线性替换的矩阵线性替换的矩阵.0C 时称该线性替换为时称该线性替换为 非退化的线性替换非退化的线性替换.以上线性替换可以表示为以上线性替换可以表示为xCy xCy 0C
5、 若若，即线性替换是非退化的即线性替换是非退化的,则则1yCx 代入二次型代入二次型xTAx,则则 TTTTTx AxCyA CyyC AC yy By 其中其中B=CTAC为对称矩阵为对称矩阵.因此因此yTBy是以是以B为矩阵的为矩阵的n元二次型元二次型例题例题 将以下二次型化为标准形将以下二次型化为标准形2221121322332224xx xx xxx xx 设设,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵，,TP APB 则称则称合同于合同于,记为记为.AB 反身性反身性对称性对称性传递性传递性合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合
6、同的矩阵也是对称矩阵.等价等价使得使得(一一)用配方的法化二次型为标准形用配方的法化二次型为标准形 定理定理5.1 5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形性替换化为标准形.(一一)用配方的法化二次型为标准形用配方的法化二次型为标准形 定理定理5.1 5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形性替换化为标准形.例题例题 定理定理5.2 5.2 对任意一个对称矩阵对任意一个对称矩阵A,A,存在一个非奇存在一个非奇异矩阵异矩阵C,C,使得使得C CT TACAC为对角形为对角形.即任何一个对称矩阵都即任何
7、一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同与一个对角矩阵合同.例题例题(三三)用正交替换法化二次型为标准形用正交替换法化二次型为标准形.定理定理5.3 5.3 任何一个二次型任何一个二次型 Tfxx Ax 一定存在正交矩阵一定存在正交矩阵Q,Q,使得经过正交替换使得经过正交替换,xQ y 把它化为标准形把它化为标准形2221122nnyyy 其中其中12,n 是矩阵是矩阵A A的全部特征值的全部特征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换.,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2例例3 3.22 2222 ,434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx
