1、高中数学数列的极限教学设计 一、教学目标 1.知识与能力目标 使学生理解数列极限的概念和描述性定义。 使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。 通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。 2.过程与方法目标 培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。 3.情感、态度、价值观目标 使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学重点和难点 教学重点：数列极限的概念和定义。 教学难点：数列极限的“N”定义的理解。 三、教学对象分析 这节
2、课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在立体几何内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列an中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学
3、生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。 四、教学策略及教法设计 本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后
4、进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。 五、教学过程 1.创设情境 课件展示创设情境动画。 今天我们将要学习一个很重要的新的知识。 情境1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。 情境2、我国古代哲学家庄周所著的庄子?天下篇引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木
5、棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完? 大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。 2.定义探究 展示定义探索(一)动画演示。 问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点? (1)1/2,2/3,3/4,n/n-1 (2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n 问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点? 师生一起归纳总结出以下结论：
6、数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。 那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。 那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。 提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势? 展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定
7、多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于，若取=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。 数列的极限为：对于任意的0，如果总存在自然数N，当nN时，不等式an-An的极限。 定义探索动画(一)： 课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。 定义探索动画(二) 课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I
8、的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。 3.知识应用 这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。 例1.已知数列： 1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,(-1)n+11/n， (1)计算|an-0| (2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。 (3)确定这个数列的极限。 例2.已知数列： 已知数列：3/2,9/4,15/8，2+(-1/2)n，。 猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017 例3.求常数数列一
9、7，一7，一7，一7，的极限。 5.知识小结 这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。 课后练习： (1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。an=4n+l/n；an=4-(1/3)m；an=(-1)n/3n；aan=-2；an=n；an=(-1)n。 (2)课本练习1，2。 6.探究性问题 设计研究性学习的思考题。 提出问题： 芝诺悖论：阿基里斯是荷马史诗中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也
10、无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗? 这里是研究性学习内容，以学生感兴趣的悖论作为课后作业，巩固本节所学内容，进一步提高了学生学习数列的极限的兴趣。同时也为学生创设了课下交流与讨论的情境，逐步培养学生相互合作、交流和讨论的习惯，使学生感受到了数学来源于生活，又服务于生活的实质，逐步养成用数学的知识去解决生活中遇到的实际问题的习惯。
