1、高高 等等 数数 学学第五版第五版 上册上册同济大学应用数学系同济大学应用数学系 主编主编rxdtdx本学期学习内容本学期学习内容第二章 导数与微分第三章 微分中值定理与导数的应用第四章 不定积分第五章 定积分第六章 定积分的应用第一章 函数与极限1.1 1.1 映射与函数映射与函数1.2 1.2 数列的极限数列的极限 1.3 1.3 函数的极限函数的极限1.4 1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.5 1.5 极限运算法则极限运算法则1.6 1.6 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 1.7 1.7 无穷小的比较无穷小的比较 .第一章第一章 函数与极限函数与极限()yf x
2、 1.1.集合概念集合概念 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.1.1 1.1 映射与函数映射与函数,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记记作作一一 集合集合数集分类数集分类:N-N-自然数集自然数集Z-Z-整数集整数集Q-Q-有理数集有理数集R-R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A
3、例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.集合的运算集合的运算 是两集合，则、设BA 为全集，其中：余补且差：或并：且交：IAIABxAxxBABxAxxBABxAxxBAC)(|运算律：CCCCCCBABABABACBCACBACBCACBACBACBACBACBAABBAABBA)()()4()()()()()()()3()()()()()2()1(对偶律分配律结合律交换律)Morgan(De )(定定律律CCCBABA BAxBAxC ,
4、)(则则如如果果证证：BxAx 或或即即CCBxAx 或或亦亦即即CCBAx 因因此此CCCBABA)(所所以以CCCCBxAxBAx ,或或则则如如果果反反之之，BxAx 或或即即BAx 亦亦即即CBAx)(因因此此CCCBABA)(所所以以CCCBABA)(于于是是得得到到 BABA ,3,2,1 ,.则则集集合合，反反正正设设例例.)3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,(反反反反反反正正正正正正 注意注意A A与与B B的直积的直积 A AB B(x,y)(x,y)x xA A且且y yBB例例.R.R R=R=(x,y)(x,y)x xR R且且y yRR表示表示 x
5、oy xoy 面上全体点的集合面上全体点的集合R R R R常记为常记为 R2R23.3.区间、邻域区间、邻域区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记记作作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb以上都是有限区间，以下是无限区间：以上都是有限区间，以下是无限区间：区间长度的定义区间长度
6、的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.邻域邻域:.0,且且是是两两个个实实数数与与设设a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.),(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 注意：邻域总是开集注意：邻域总是开集.记作记作0|),(0 axxaU映射概念映射概念 定义：设定义：设 X X、Y Y 是两个非空集合，如果存在一个法是两个非空集合，如果存在一个法则则 f f，使得对使得对X X 中每个元素中每个元素x x，按法
7、则，按法则f f，在，在Y Y 中有唯一中有唯一确确 定的元素定的元素y y与之对应，则称与之对应，则称f f为从为从X X到到Y Y的映射，记的映射，记作作 二二 映射映射 f:X Y f:X Y|)()(XxxfXfRXDff 值域：值域：定义域：定义域：X X到到Y Y上的映射上的映射(满射满射)：若：若 Rf=YRf=Y，即，即Y Y中任意元素中任意元素y y都是都是X X中中 某元素的像某元素的像单射：若对单射：若对X X中任意两个不同元素中任意两个不同元素 x1 x2 x1 x2，它们的像，它们的像 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)一一映射一一映射(双射双射)：若映射：若映
8、射 f f 既是单射又是满射既是单射又是满射2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射 g:Rf X g:Rf X，的的逆逆映映射射，记记作作称称为为映映射射1 ffgffRD 1定义域：定义域：值域：值域：XRf 1 g:X Y1 g:X Y1，f:Y2 Z f:Y2 Z 其其中中21YY ZXgf:1.1.函数的概念函数的概念三三 函数函数例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)上上的的函函数数，通通常常简简记记为为定定义义在在为为，则则称称映映射射定定义义：设设数数集集DRDfRD:因变量因变量自
9、变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),()(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyDf 数集数集D D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域)(xfy 函数的两要素函数的两要素:定义域与对应法则定义域与对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如，.1,0:)(,1,1:DfD 211xy ).,1:)(),1,1(:DfD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数
10、值总是只有一个，这种函数叫做单值函的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数数，否则叫多值函数例例如如，222ayx 函数的表示法：公式法、图形法、表格法函数的表示法：公式法、图形法、表格法例例1 1 求求 y=arcsin y=arcsin 的定义域和值域的定义域和值域.x 2解：解：120 x函数的定义域为函数的定义域为:.20:,21 yx函函数数的的值值域域为为得定义域为得定义域为 x 0 x 0 且且,2,1 x解：解：0,2,1,0,12xkkxkxx例例2 2 求求xxy2arccoscot 的定义域的定义域 .?1 11 .32是是不不是是相相同同的的函函数数关
11、关系系与与例例 xyxxy定义域不同的两个不同的函数00 xxyy-1-111 12 112 xxy1 xy?.42是是不不是是相相同同的的函函数数关关系系与与例例xyxy 定义域相同而对应规则不同的两个不同的函数00 xxyyxy 2xy 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.1,0sgn()0,01,0 xyxxx 值域1，0，1.例例 符号函数符号函数定义域(,+).111 1o ox xy y例例 取整函数取整函数(阶梯曲
12、线阶梯曲线)y=x)y=x 为不超过为不超过 x x 的最的最大整数部分大整数部分.如图如图:注注:分段函数虽有几个式子分段函数虽有几个式子,但它们合起来表示一但它们合起来表示一个函数个函数,而不是几个函数而不是几个函数.实际上是取左端点.o ox xy y1 12 2111122o oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD0 x,)(,0,)(MxfDxMxfD 有有若若的定义域的定义域是是设设(1)(1)函数的有界性函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Dxf例例 y=sin2x,y=cosx y=sin2x,y=cosx 在（在（-,+)
13、-,+)上均为有界函数上均为有界函数,y=x,y=x2 y=x,y=x2 在在(-,+)(-,+)上无界上无界.2.2.函数的特性函数的特性(2)(2)函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(21xfxf 恒恒有有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI例：例：y=x,y=ex y=x,y=ex 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。)(xfy)(1xf)(2xfxyoI),)()
14、(21xfxf(3)(3)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ,)()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf.)(为为偶偶函函数数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy (4)(4)函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l 2l23l 23l在在(无穷无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。多个正周期中若存在一个最小
15、数，此最小数称为最小正周期。,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的()().f xlf x且为为周周则则称称)(xf.)(,DlxDxl 使使得得对对于于任任一一数数.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl恒 成 立,0一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期，如如 y=sin xy=sin x，2,2,44均为周期。均为周期。0一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数0都存在最小正周期都存在最小正周期.如如:f(x)=c:f(x)=c例例 设设 c c 0,x 0,x(-
16、(-,+,+),f(x+c)=-),f(x+c)=-f(x),f(x),证明证明f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。证明证明:f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)f(x)为周期为为周期为2c2c的函数的函数.事实上事实上,对任何对任何 y y(-(-,+,+)都有都有 f(x+y)=f(x).f(x+y)=f(x).注意注意3.3.反函数反函数0 x0y0 x0yxyDR)(xfy 函函数数oxyDR)(yx 反反函函数数o习惯上习惯上,反函数反函数 x=x=(y)(y)写成写成 y=y=(x)=f
17、(x)=f 1(x).1(x).定义定义 设有函数设有函数y=f(x)(xy=f(x)(xD)D)，其值域，其值域R=f(D).R=f(D).若对于若对于R R中每一个中每一个y y值值,都可由方程都可由方程f(x)=yf(x)=y确定唯一的确定唯一的x x值值:x=x=(y),(y),称为称为y=f(x)y=f(x)的反函数的反函数,记作记作x=f-1(y),x=f-1(y),读读“f f逆逆”。)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 例例1 1.,3 xxy例例2 2 证
18、明若函数证明若函数 y=f(x)y=f(x)是奇函数且存在反函是奇函数且存在反函数数 x=f x=f 1(y),1(y),则反函数也是奇函数。则反函数也是奇函数。证明：证明：xxy,3的反函数是的反函数是).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3.0101)(2的的反反函函数数求求 xxxxxf解解:当当x x0 0时时,y,y1,1,1122 yxxy当当x0 x0时时,y1,x=y-1,y1,x=y-1,.1,11,1,2 xxxxy得得反反函函数数综综上上4.4.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设函数设函数y=
19、f(u),uy=f(u),uU U，函数，函数u=u=(x),x(x),x D,D,其值域其值域为为(D)=u|u=(D)=u|u=(x),x(x),xD D U U，则称函数，则称函数y=fy=f(x)(x)为为x x的复合函数的复合函数.,自自变变量量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y代入法代入法注注:0不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 0复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2
20、xv 5.5.初等函数初等函数定义定义:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00 xx不是初等函数不是初等函数nnxaxaay10为初等函数为初等函数nnxaxaay10一般来说，分段函数不是初等函数，但例一般来说，分段函数不是初等函数，但例1 1所示的分段所示的分段函数是初等函数。函数是初等函数。例例1 1复合而成的复合函数复合而成的复合函数那就是说
21、，原函数与那就是说，原函数与是同一个函数，因此它也是初等函数。是同一个函数，因此它也是初等函数。0 x x0 x xxy,2xuuy 和和是由是由2xy 基本初等函数基本初等函数1.1.幂函数幂函数)(是是常常数数 xy oxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2.2.指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 3.3.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4.4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin oxycos xycos 余弦函数余弦函数o正切函数正切函数xytan xytan oxycot 余切函数余切函数xycot o正割函数正割函数xysec xysec oxycsc 余割函数余割函数xycsc o5.5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数oxyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数oxyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数o幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为基本初等函数角函数统称为基本初等函数.xycotarc 反反余余切切函函数数xycot arco
