1、 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验第第6 6节幂函数、指数函数、对数函数节幂函数、指数函数、对数函数 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如_的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象 yx 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(3)常见的5种幂函数的性质0，)y|yR R，且y0 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验2.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质 a10a0时，_；当x0时，_
2、当x0时，_在(，)上是_在(，)上是_(0，)(0，1)y10y10y0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质 a10a1时，_；当0 x1时，_；当0 x0y0y0增函数减函数 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.ylogaxyx 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验常用结论与易错提醒1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象
3、的分布规律：作一直线xT1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线xT0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线yk0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验基 础 自 测 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解析(1)错误，y1的图象去掉点(0，1)才是yx0的图象；yloga(x21)(a0且a1)，真数为x21而不是单自变量x.而yln(x1)ln(x1)的定义域为(1，)，故函数的定义域不同.答案(1)(2)(3)(4)创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验2.函
4、数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()答案D 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验3.(一题多解)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1解析法一由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1时，函数f(x)ax32必过定点_，其值域为_.解析函数f(x)ax32的图象是将函数yax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)ax32必过定点(3，1)，其值域为(2，).答案(3，1)(2，)创新设计创新设计考点聚焦突
5、破知识衍化体验考点一幂函数【例1】(1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ Z)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A.3 B.1 C.2 D.1或2 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解析(1)设f(x)x(R R)，则42，(2)幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数，又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.答案(1)C(2)B 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的
6、大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验答案(1)C(2)A(3)D 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验令ux24x3(x2)27.由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R R，则必有a0.创新设计创新设计考点
7、聚焦突破知识衍化体验规律方法(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解析(1)因为0ab1，所以01b1a(1a)b(1b)b，故选D.x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒
8、成立，故x8.综上，x(，27.(3)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1.答案(1)D(2)(，27(3)1，1 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验解得x2，所以函数的定义域为(，0)(2，)，结合图象可得函数的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，0).创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验(2)令g(x)ax2x，当0a0，创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验当a1时，要使函数f(x)在区间2，4上是增函数，则g(x)ax2x在2，4上单调递增，且g(x)min0，又a1，所以a1，综上可得
9、a1.实数a的取值范围为(1，).创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验规律方法(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验当a1时，不符合题意，舍去.创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验 创新设计创新设计考点聚焦突破知识衍化体验答案(1)D(2)B(3)C
