1、.基本不等式知识点：1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决
2、实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解：(1)y3x 22 值域为，+）(2)当x0时，yx22；当x0时， yx= （ x）2=2值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例： 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值
3、。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 分离技巧四：换元例：求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的
4、一致性，否则就会出错。例：已知，且，求的最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。技巧七例：已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的
5、最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u33，ab18，y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的
6、关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ， 利用重要不等式放缩例 设求证解析 此数列的通项为，即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不
7、等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。应用四：均值定理在比较大小中的应用例：若，则的大小关系是 .分析： （ RQP。练习题一、选择题1、函数的定义域是（ ）.A、 B、 C、 D、2、若关于x的不等式|x + 2| + |x1| b,则ac2bc2;若ab0,则+2;若a|b|,nN*,则anbn;若ab0,则;若logab0,则a、b中至少有一个大于1.其中正确命题的个数为( ).A、2B、3C、4D、17、函数的最小值为（ ）.A18B16C12D08、定义在上的函数满足，当
8、时，则( ).A BC D9、函数的值域是( ).A B C D10、已知，则函数的最大值是( ).A13 B20 C18 D1611、已知是周期为2的奇函数，当时，设则( ).（A）（B）（C）（D）12、若关于的方程x2(a2+b26b)x+ a2+b2+2a4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x10x21，则a2+b2+4a的最大值和最小值分别为( ).A和5+4 B. 和5+4 C. 和12 D. 和154二、填空题13、已知实数满足约束条件，目标函数只有当时取得最大值，则a的取值范围是 14、若0，则的最小值是 15、记mina,b为a、b两数的最小值,当正数x、y变化时,t=mi
9、nx, 也在变化,则t的最大值为_.16、一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要 小时？三、解答题17、解关于的不等式18、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k0，k为常数，且n0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元 （1）求k的值，并求出的
10、表达式； （2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?19、已知不等式（I）求t，m的值；（2）若函数f(x)=x2ax4在区间上递增，求关于x的不等式loga(mx23x2t)0的解集。20、已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）21、已知数列满足(nN*),是的前n项
11、的和，并且 （1）求数列的前项的和； （2）证明：22、已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为、.（1）证明：；（2）证明：，；（3）若、满足不等式，试求的取值范围。不等式测试题（三）答案与解析：1、答案：选A。要使函数有意义，则，即，解得。2、答案：选C。提示：令，则可看作是数轴上的点到的距离和，所以，要使不等式|x + 2| + |x1| a的解集为，则有。3、答案：选D。提示：不等式同解为，故解集为(1，0(1，+)。4、答案：选A。提示：分离参数得，则转化为a小于的最小值，配方求得最小值为。5、答案：选A。，。6、答案: A。解析: 错.当c=0时,有ac2=bc2.错.当ab0时
12、,ab0,anbn成立;当b=0时,a0,anbn成立;当b0,bnbn成立;若n为偶数,a|b|0,an|b|n=bn,anbn仍成立.故nN*,a|b|时总有anbn.错.如a=3,b=2,c=1时,.对.当0a1.正确命题有2个.7、答案：选B。提示：令，所以，又得。8、答案：选D。提示：由题知周期为2，又当时，即在上为增，上为减。所以在上为增，上为减，所以。9、答案：选C。提示：不成立，故不能用均值不等式。故利用其单调性求解。10、答案：选A。，注意到为符合函数，定义域为，故最大值为13。11、答案：选D解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0)的最小值是2,则2=6, b=log29
13、. (2)设0x1x2,y2y1=. 当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数； 当0x1x2时y20),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数. 当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是减函数, 在,0)上是增函数. F(x)= + = 因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数. 所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1.21、解：(1)由题意得两式相减得所以再相加所以数列是等差数列又又 所以数列的前项的
14、和为 而 .22、解：（1）由题意知，、是关于x的一元二次方程的两个实数根，故有，即。3分（2）关于x的一元二次方程的两个实数根是、，则有，又，所以。由， 5分 ，即，。 7分（3）由，得， 8分又由（1）知，即， 10分，当时，取最大值，又，所以的取值范围是10、已知函数（，为为实数），（1）若函数的最小值是，求的解析式；（2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围；（3）若，为偶函数，实数，满足，定义函数，试判断值的正负，并说明理由解:（1）由已知， 且， 解得， 函数的解析式是 2分（2）在（1）的条件下，即从而在区间上恒成立， 4分 此时函数在区间上是减函数，且其最小值为1，k的取值范围为. 8分（3） 是偶函数， ， ， 由知、异号，不妨设，则，又由得 10分由得，又，得， 的值为正 .
