1、高中数学直线方程练习题一选择题（共12 小题）1已知 A（2，1）， B（2 ，3），过点 P（1，5）的直线 l 与线段 AB 有交点，则 l 的斜率的范围是（）A（，8B2， +）C（，82，+） D（，8）（2， +）2已知点 A（1，3）， B（2，1）若直线 l：y=k （x2）+1 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是（）A ，+）B（，2C （，2，+） D2，3已知点 A（1，1）， B（2，2），若直线 l：x+my+m=0 与线段 AB （含端点）相交，则实数 m 的取值范围是（）A（，2，+） B，2C（，2，+） D ，24已知 M（ 1，2），N（4，3 ）直线
2、l 过点 P（2 ，1）且与线段 MN 相交，那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）A（，32，+）B， C3，2D（，+）5已知 M（2，3），N（3 ，0），直线 l 过点（1，2）且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）A或 k5BCD6已知 A（2，），B（2，），P（1， 1），若直线 l 过点 P 且与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的范围是（）ABCD7已知点 A（2，3）， B（3，2），若直线 l 过点 P（1，1）与线段 AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）Ak 2B k 2 或kCkDk28已知O 为ABC内一点，且，若
3、B，O，D三点共线，则t 的值为（）ABCD9经过（ 3，0），（ 0， 4）两点的直线方程是（）A 3x+4y 12=0 B 3x4y+12=0 C 4x3y+12=0 D4x+3y 12=010 过点（ 3，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A 2x+y=0 B x+y+3=0C xy+3=0 Dx+y+3=0 或 2x+y=011经过点 M（ 1， 1）且在两轴上截距相等的直线是（）A x+y=2 Bx+y=1 Cx=1 或 y=1 D x+y=2 或 xy=012已知ABC 的顶点 A（ 2，3），且三条中线交于点 G（4，1），则 BC 边上的中点坐标为（）A（5，0）B
4、（6，1）C（ 5，3）D（ 6，3）二填空题（共4 小题）13 已知直线 l1： ax+3y+1=0 ， l2： 2x+ （a+1） y+1=0 ，若 l1l2，则实数 a 的值是14直线 l1 ：（3+a ）x+4y=5 3a 和直线 l2：2x+（ 5+a ）y=8 平行，则 a=15设直线 l：x+my+6=0和 l：（m2） x+3y+2m=0 ，当 m=时， ll ，1212当 m=时， l1 l216 如果直线（ 2a+5 ）x+（ a2） y+4=0 与直线（ 2a）x+（ a+3 ）y1=0 互相垂直，则 a 的值等于三解答题（共11 小题）17 已知点 A（1 ，1 ），B
5、（2，2 ），直线 l 过点 P（1，1）且与线段 AB 始终有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为18 已知 x，y 满足直线 l：x+2y=6 （ 1）求原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标；（ 2）当 x1，3时，求的取值范围19 已知点 A（ 1， 2）、B（5，1），（ 1）若 A，B 两点到直线 l 的距离都为 2，求直线 l 的方程；（ 2）若 A， B 两点到直线 l 的距离都为 m（ m0），试根据 m 的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程20 已知直线 l 的方程为 2x+（1+m ）y+2m=0 ，mR，点 P 的坐标为（1， 0）（ 1）求证：直
6、线 l 恒过定点，并求出定点坐标；（ 2）求点 P 到直线 l 的距离的最大值21 已知直线方程为（ 2+m）x+（1 2m ）y+4 3m=0 （ ）证明：直线恒过定点M；（ ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于A， B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程22 已知光线经过已知直线l1： 3xy+7=0 和 l2 ：2x+y+3=0 的交点 M，且射到 x轴上一点 N（1，0）后被 x 轴反射（ 1）求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标；（ 2）求反射光线所在的直线 l3 的方程（ 3）求与 l3 距离为的直线方程23 已知直线 l：y=3x+3求（ 1）点 P（ 4
7、，5）关于 l 的对称点坐标；（ 2）直线 y=x 2关于 l 对称的直线的方程24 已知点 M（3，5），在直线 l：x2y+2=0 和 y 轴上各找一点P 和 Q，使MPQ的周长最小25 已知直线 l 经过点 P（ 3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0 和 l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线 l 的方程26 已知直线 l：5x+2y+3=0 ，直线 l经过点 P（2，1）且与 l 的夹角等于 45 ，求直线 l的一般方程27已知点 A（2，0），B（0，6），O 为坐标原点（ 1）若点 C 在线段 OB 上，且ACB=，求ABC 的面积；（ 2）若原点 O 关于直线 A
8、B 的对称点为 D，延长 BD 到 P，且 |PD|=2|BD| ，已知直线 L： ax+10y+84 108 =0 经过点 P，求直线 l 的倾斜角高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一选择题（共12 小题）1（2016秋 ?滑县期末）已知A（2，1），B（2，3），过点P（ 1， 5）的直线l 与线段 AB 有交点，则 l 的斜率的范围是（ ）A（，8B2， +） C（，82，+）【分析】 利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出【解答】 解： kPA= =2， kPB= =8，D（，8）（2， +）直线l 与线段 AB 有交点，l 的斜率的范围是k8，或 k2故选： C【点评】 本题考查
9、了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2（2016秋 ?碑林区校级期末）已知点 A（1，3），B （2，1）若直线 l： y=k（ x2） +1与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是（）A ，+）B（，2C （，2，+） D2，【分析】由直线系方程求出直线l 所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段 AB 上点的斜率的最小值和最大值得答案【解答】 解：直线 l：y=k （x2） +1 过点 P（ 2， 1），连接 P 与线段 AB 上的点 A（1，3）时直线 l 的斜率最小，为，连接 P 与线段 AB 上的点 B（2，1）时直线 l 的斜率最大，为k 的取值范围
10、是故选： D【点评】 本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题3（2016 秋 ?雅安期末）已知点A（1，1），B（2 ，2），若直线 l：x+my+m=0与线段 AB（含端点）相交，则实数m 的取值范围是（）A（，2，+） B，2C（，2，+） D ，2【分析】 利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出【解答】 解：直线 l： x+my+m=0 经过定点 P（0，1），kPA=2，kPB=直线l： x+my+m=0 与线段 AB（含端点）相交，2，故选： B【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（2016 秋
11、 ?庄河市校级期末）已知M（1，2）， N（4，3）直线 l 过点 P（ 2 ，1）且与线段 MN 相交，那么直线l 的斜率 k 的取值范围是（）A（，32，+）B， C3，2D（，+）【分析】画出图形，由题意得所求直线 l 的斜率 k 满足 kkPN 或 kkPM，用直线的斜率公式求出kPN 和 kPM 的值，解不等式求出直线l 的斜率 k 的取值范围【解答】 解：如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率 k 满足 kkPN 或 kkPM，即 k =2，或 k =3，k2，或 k3，故选： A【点评】 本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想5（2013 秋 ?迎泽区校级月考）已
12、知M（2，3），N（ 3， 0），直线 l 过点（1，2）且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）A或 k5BCD【分析】 求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得【解答】 解：（如图象）即 P（1，2），由斜率公式可得 PM 的斜率 k1 =5，直线 PN 的斜率 k2 = ，当直线 l 与 x 轴垂直（红色线）时记为l，可知当直线介于l和 PM 之间时， k5 ，当直线介于 l和 PN 之间时， k，故直线 l 的斜率 k 的取值范围是： k，或 k5故选 A【点评】本题考查直线的斜率公式， 涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率的关系，属中档题6
13、（2004 秋?南通期末）已知A（2，），B（2，），P（1， 1），若直线 l 过点 P 且与线段 AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的范围是（）ABCD【分析】先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出倾斜角的具体范围【解答】 解：设直线 l 的斜率等于 k，直线的倾斜角为由题意知， kPB= ，或 kPA=设直线的倾斜角为，则 0， ），tan =k，由图知 0120 或 150 180 故选： D【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用， 属于基础题7已知点 A（2，3）， B（3，2），若直线 l 过点 P（1，1）与线段 AB 始
14、终没有交点，则直线l 的斜率 k 的取值范围是（）Ak 2B k 2 或 kCkDk2【分析】 求出 PA ， PB 所在直线的斜率，数形结合得答案【解答】 解：点 A（2，3）， B（3，2），若直线 l 过点 P（1，1），直线PA 的斜率是=2，直线 PB 的斜率是=如图，直线l 与线段 AB 始终有公共点，斜率k 的取值范围是（，2）故选： A【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题8（2017 ?成都模拟）已知 O 为ABC 内一点，且，若B， O，D 三点共线，则 t 的值为（）ABCD【分析】以 OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC
15、，连接 OF 与 BC 相交于点 E，E 为 BC 的中点由，可得=2=2，点 O 是直线 AE 的中点根据，B，O，D 三点共线，可得点D 是 BO 与 AC 的交点过点O 作 OM BC 交 AC 于点 M，则点 M 为 AC 的中点即可得出【解答】 解：以 OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接 OF 与 BC 相交于点 E，E 为 BC 的中点，=2=2，点O 是直线 AE 的中点，B，O，D 三点共线，点D 是 BO 与 AC 的交点过点 O 作 OMBC 交 AC 于点 M，则点 M 为 AC 的中点则 OM= EC= BC， = ，DM= MC ，AD= AM= AC
16、，t= 故选： B【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（ 2016 秋?沙坪坝区校级期中） 经过（ 3，0），（ 0，4）两点的直线方程是 （）A 3x+4y 12=0 B 3x4y+12=0 C 4x3y+12=0 D4x+3y 12=0【分析】 直接利用直线的截距式方程求解即可【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即 4x+3y 12=0 故选 D【点评】 本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力10 （ 2016 秋?平遥县校级期中）过点（ 3，6）且在两坐标轴上的截距相等的
17、直线的方程是（）A 2x+y=0 B x+y+3=0C xy+3=0 Dx+y+3=0 或 2x+y=0【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y=k ，把点（ 3，6）代入直线的方程可得k 值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论【解答】 解：当直线过原点时，方程为y=2x，即 2x+y=0 当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k ，把点（ 3，6）代入直线的方程可得 k=3，故直线方程是x+y+3=0 综上，所求的直线方程为x+y+3=0 或 2x+y=0 ，故选： D【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线
18、过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题11 （2015 秋?运城期中）经过点 M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 （）A x+y=2Bx+y=1Cx=1 或 y=1 D x+y=2 或 xy=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0 时，设出该直线的方程为x+y=a ，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0 时，设该直线的方程为y=kx ，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程， 综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】 解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0 时，设该直线的方程为x+y=a ，把（
19、 1，1）代入所设的方程得： a=2，则所求直线的方程为x+y=2 ；当所求的直线与两坐标轴的截距为0 时，设该直线的方程为y=kx ，把（ 1，1）代入所求的方程得： k=1，则所求直线的方程为y=x综上，所求直线的方程为：x+y=2 或 xy=0 故选： D【点评】 此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为 0 分类讨论，是一道基础题12 （ 2013 春?泗县校级月考）已知 ABC 的顶点 A（ 2，3），且三条中线交于点G（ 4， 1），则 BC 边上的中点坐标为（）A（5，0）B（6，1）C（5，3）D（6，3）【分析】 利用三角形三条中线的交点到对边的距离
20、等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果【解答】 解：如图所示，；ABC 的顶点 A （2，3 ），三条中线交于点G（4，1），设 BC 边上的中点 D（x，y），则=2，（42，13）=2 （x4，y1），即，解得，即所求的坐标为D（5，0）；故选： A【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是基础题二填空题（共4 小题）13 （ 2015 ?益阳校级模拟）已知直线l1 ：ax+3y+1=0 ，l2 ：2x+ （ a+1）y+1=0 ，若 l1 l2，则实数 a 的值是3【分析】 根据 l1l2，列出方程 a（ a+1 ）23=0，求出 a 的值，讨论 a
21、 是否满足l1l2 即可【解答】 解：l1l2，a（a+1）23=0 ，即 a2+a6=0，解得 a= 3，或 a=2；当 a=3 时， l1 为：3x+3y+1=0 ，l2 为： 2x2y+1=0 ，满足 l1 l2；当 a=2 时， l1 为： 2x+3y+1=0 ，l2 为： 2x+3y+1=0 ， l1 与 l2 重合；所以，实数 a 的值是3故答案为：3【点评】本题考查了两条直线平行， 斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目14 （ 2015 秋?天津校级期末）直线l1 ：（3+a ）x+4y=5 3a 和直线 l2：2x+（ 5+a ）y=8 平行，则 a=7【分析】根
22、据两直线平行的条件可知， （3+a ）（5+a ）42=0，且 53a8进而可求出 a 的值【解答】 解：直线 l1 ：（3+a）x+4y=5 3a 和直线 l2 ：2x+（ 5+a ）y=8 平行，则 （ 3+a）（ 5+a ）42=0，即 a2+8a+7=0 解得， a=1或 a=7又53a 8，a1a=7故答案为：7【点评】 本题考查两直线平行的条件，其中 53a8 是本题的易错点属于基础题15 （ 2015 秋?台州期末）设直线m=1时， l1l2，当 m=l1 ：x+my+6=0时， l1l2和 l2：（ m2）x+3y+2m=0，当【分析】 利用直线平行、垂直的性质求解【解答】 解
23、：直线 l1 ：x+my+6=0 和 l2 ：（ m2）x+3y+2m=0 ，l1l2， = ，解得 m=1；直线l1 ：x+my+6=0 和 l2 ：（m2）x+3y+2m=0 ，l1l2 ，1（m2）+3m=0 ，解得 m=；故答案为：1，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用16 （ 2016 春?信阳月考）如果直线（ 2a+5 ）x+（a 2）y+4=0 与直线（ 2 a）x+（ a+3）y1=0互相垂直，则a 的值等于a=2或 a=2【分析】 利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a 的方程可求【解答】解：设直线（ 2a+5
24、）x+（a2）y+4=0 为直线 M；直线（ 2a）x+（ a+3 ）y1=0 为直线 N当直线 M 斜率不存在时，即直线M 的倾斜角为 90，即 a2=0，a=2 时，直线N 的斜率为 0 ，即直线 M 的倾斜角为 0，故：直线 M 与直线 N 互相垂直，所以a=2 时两直线互相垂直当直线 M 和 N 的斜率都存在时， kM=（，kN=要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为1，故： a=2当直线 N 斜率不存在时，显然两直线不垂直综上所述： a=2 或 a= 2故答案为： a=2 或 a= 2【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于1，应注意斜率不存在的情况三解答题（共1
25、1 小题）17 （ 2016 秋?兴庆区校级期末）已知点A（1，1）， B （2，2），直线 l 过点 P（1，1）且与线段 AB 始终有交点，则直线l 的斜率 k 的取值范围为k3，或k1【分析】 由题意画出图形，数形结合得答案【解答】 解：如图，A（1，1），B（2，2），直线 l 过点 P（1，1），又，直线l 的斜率 k 的取值范围为 k3，或 k1故答案为： k3，或 k1【点评】 本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题18 （ 2015 春?乐清市校级期末）已知x，y 满足直线 l： x+2y=6 （ 1）求原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标；（ 2）
26、当 x1，3时，求的取值范围【分析】（1）设对称后的点P（ a， b），根据点的对称即可求原点O 关于直线 l的对称点 P 的坐标（ 2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x， y）到定点（ 2， 1）的两点的斜率的取值范围【解答】 解：（1）设原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标为（ a，b），则满足，解得 a=，b=，故；（ 2）当 x1，3时，的几何意义为到点C（ 2， 1 ）的斜率的取值范围当 x=1 时， y= ，当 x=3 时， y= ，由可得 A（1， ），B（3， ），从而 kBC =，kAC =，k 的范围为（，+）【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称
27、点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用19 （ 2016 秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，1），（ 1）若 A，B 两点到直线 l 的距离都为 2，求直线 l 的方程；（ 2）若 A， B 两点到直线 l 的距离都为 m（ m0），试根据 m 的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L 与点 A（1，2）和点 B（5，1）两点的连线平行，一类是线L 过两点 A（1，2）和点 B（5，1）中点，分类解出直线的方程即可；（ 2）根据 A， B 两点与直线 l 的位置关系以及m 与两点间距离 5 的一半比较，得到满足条件的直线【解答】
28、 解：|AB|=5，|AB| 2，A 与 B 可能在直线 l 的同侧，也可能直线l 过线段 AB 中点，当直线 l 平行直线 AB 时： kAB =，可设直线 l 的方程为依题意得：=2 ，解得： b=或 b=，y= x+b故直线 l 的方程为： 3x+4y 1=0 或 3+4y 21=0 ；当直线 l 过线段 AB 中点时：AB 的中点为（3 ， ），可设直线 l 的方程为 y=k（ x3）依题意得：=2，解得： k=，故直线 l 的方程为：x2y =0；（ 2） A，B 两点到直线 l 的距离都为 m（m0），AB 平行的直线，满足题意得一定有 2 条，经过 AB 中点的直线，若 2m |
29、AB| ，则有 2 条；若 2m=|AB| ，则有 1 条；若 2m |AB| ，则有 0 条， |AB|=5 ，综上：当 m2.5 时，有 4 条直线符合题意；当 m=2.5 时，有 3 条直线符合题意；当 m2.5 时，有 2 条直线符合题意【点评】本题考查点到直线的距离公式， 求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式， 对空间想像能力要求较高， 考查了对题目条件分析转化的能力20 （ 2015 秋?眉山校级期中）已知直线l 的方程为 2x+ （1+m ）y+2m=0 ，mR，点 P 的坐标为（1，0）（ 1）求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标；（ 2）求点 P 到直线
30、l 的距离的最大值【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m （y+2 ）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l 恒过的定点（ 2）设点 P 在直线 l 上的射影为点 M，由题意可得 |PM| |PQ|，再由两点间的距离公式求得点 P 到直线 l 的距离的最大值【解答】（1）证明：由 2x+ （1+m ）y+2m=0 ，得 2x+y+m （y+2）=0 ，直线l 恒过直线 2x+y=0 与直线 y+2=0 的交点 Q，解方程组，得 Q（ 1，2），直线l 恒过定点，且定点为Q（1，2）（ 2）解：设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，则 |PM| |PQ|，当且仅当直线 l 与 PQ
31、 垂直时，等号成立，点P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度，等于=2 【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题21 （ 2010 秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m ）x+（12m ）y+43m=0 （ ）证明：直线恒过定点M；（ ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于A， B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程【分析】（ ）直线方程按 m 集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（ ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于A， B 两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线
32、过的定点，写出直线方程，求出AOB 面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程【解答】（）证明：（2+m ）x+（1 2m ）y+4 3m=0 化为（ x2y3）m= 2xy4（3分）得直线必过定点（1，2）（6 分）（ ）解：设直线的斜率为 k（k0），则其方程为 y+2=k （ x+1）， OA=| 1|， OB=|k 2|，（ 8 分）SAOB = ?OA?OB=|（ 1）（k2）|= |.（ 10 分）k0，k0，SAOB = = 4+（）+（k）4当且仅当 =k，即 k= 2时取等号（13 分）AOB 的面积最小值是 4 ，（14 分）直线的方程为
33、y+2= 2（ x+1），即 y+2x+4=0 （15 分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识， 三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用22 （ 2016 秋 ?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l1： 3xy+7=0和 l2：2x+y+3=0 的交点 M，且射到 x 轴上一点 N（1，0）后被 x 轴反射（ 1）求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标；（ 2）求反射光线所在的直线l3 的方程（ 3）求与 l3 距离为的直线方程【分析】（1）联立方程组，求出M 的坐标，从而求出P 的坐标即可；（ 2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN 的方程，根据
