1、初中数学二次函数图像及性质练习题一、单选题1.将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )ABy=CD2.已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或63.已知抛物线(为常数),是抛物线上三点,则由小到大依序排列为( )A.B.C.D.4.把抛物线向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得到的抛物线是( )A.B.C.D.5.将抛物线向左平移1个单位后,得到的抛物线的顶点坐标是( )A.B.C.D.6.在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为( )A.B.
2、C.D.7.抛物线的对称轴是()A.直线B.直线C.直线D.8.下列说法中错误的是( )A.在函数中,当时y有最大值0B.在函数中,当时y随x的增大而增大C.抛物线中,抛物线的开口最小,抛物线的开口最大D.不论a是正数还是负数,抛物线的顶点都是坐标原点9.已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,给出下列结果:(1);(2);(3);(4);(5).则正确的结论是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(4)(5)C.(2)(3)(4)D.(1)(4)(5)10.如图,正方形中,点E、F同时从C点出发,以的速度分别沿、运动,到点A时停止运动.设运动时间为,的面积为,则与的函数关系可用图象
3、表示为( )A.B.C.D.11.二次函数的图象如图所示,则下列关系式中正确的是( )A.B.C.D.12.已知二次函数的图象如图,则下列结论中正确的有_个( ) 当时,y随x的增大而增大 A.2B.3C.4D.513.已知抛物线：的顶点坐标为及部分图象（如图），由图象可知关于x的 元二次方程的两个根分别是和( )A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.314.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）A.60元 B.70元 C.80元 D.90元二、解答题15.如图,
4、已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其中.1.若直线经过两点,求直线和抛物线的解析式;2.在抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小,求点的坐标;3.设点为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点的坐标.16.已知抛物线经过点1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。17.如图,抛物线交x轴于点和点B,交y轴于点1.求抛物线的函数表达式2.若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;3.如图b,设点Q是线段上的一动点,作轴,交抛物线于点D,求线段长度的最大值18.如图1,抛
5、物线经过, 两点,与y轴相交于点C,连接.点P为抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线于点G,交x轴于点E.1.求抛物线的表达式;2.当位于y轴右边的抛物线上运动时,过点C作直线,F为垂足.当点P运动到何处时,以为顶点的三角形与相似?并求出此时点P的坐标;3.如图2,当点P在位于直线上方的抛物线上运动时,连接.请问的面积S能否取得最大值?若能,请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.19.已知如图1,抛物线与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,点D的坐标是,连接1.求出直线的解析式;2.如图2,若在直线上方的抛物线上有一点F,当的面积最大时,有一线
6、段(点M在点N的左侧)在直线上移动,首尾顺次连接点构成四边形,请求出四边形的周长最小时点N的横坐标;3. 如图3,将绕点D逆时针旋转(0180),记旋转中的为若直线与直线交于点P,直线与直线交于点Q,当是等腰三角形时,求的值. 20.如图,在平面直角坐标系中,三个顶点坐标分别为、,将绕点B顺时针旋转得到,有一条抛物线经过点A,且它的顶点为.1.求该抛物线的解析式;2.该抛物线是否经过点,请说明理由;3.在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使有最大值,若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.21.已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点和点,与y轴相交于,顶点为点D。1.求该二次函数的解析式
7、(系数用含m的代数式表示);2.如图,当时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;3.如图,当m取何值时,以三点为顶点的三角形与相似?22.已知:二次函数的图象过点.1.求此二次函数的表达式,并用配方法将其化为的形式2.画出此函数图象的示意图23.如图1,已知:抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点C,经过两点的直线是,连结.1.求出抛物线的函数关系式2.若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边上)?若能,求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由3.点是x轴上一动点,两点关于直线成轴对称,交于点M,作轴于点H.连结,是否存在t
8、的值,使与相似?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由24.已知直线过点,与抛物线相交于B、C两点.1.如图1,当点C的横坐标为1时,求直线的解析式;2.在上题的条件下,点M是直线上一动点,过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由3.如图2,设 (m<0),过点的直线轴,于R,于S,连接.试判断的形状,并说明理由.25.如图1,已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线过A、B两点,且与x轴交于另一点C.1.求b、c的值2.如图1,点D为的中点,点E在线段上,且,
9、连接并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;3.将直线绕点A按逆时针方向旋转后交y轴于点G,连接,如图2,P为内以点,连接,分别以为边,在他们的左侧作等边,等边,连接求证:;求的最小值,并求出当取得最小值时点P的坐标。26.在平面直角坐标系中,抛物线经过点,直线l与x轴相交于点B,与的平分线相交于点C,直线l的解析式为,.1.若点C在此抛物线上,求抛物线的解析式;2.在上面小题的条件下,过点A作y轴的平行线,与直线l相交于点D,设P为抛物线上的一个动点,连接,当时,求点P的坐标.三、填空题27.已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是_28.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，
10、那么这个二次函数的解析式可以是 （只需写一个）29.在二次函数的图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，则m的值为 .30.已知二次函数,下列说法:其图象的开口向下;其图象的对称轴为直线;其图象顶点坐标为;当时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有_31.在二次函数中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表,则该抛物线的顶点坐标为_,m=_x-2-101234y72-1-2m2732.如图,这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字,则被墨迹污染的二次项系数是_.33.若将抛物线先向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是_.34.如图,在平面直角坐标系中
11、,点A在抛物线上运动,过点A作轴于点B,以为斜边作,则边上的中线的最小值为_.35.如图，已知抛物线与x轴交于两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)；阴影部分的面积为4；若，则.参考答案1.答案：D解析：方法1:先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移抛物线可配方成，顶点坐标为.图象向左平移2个单位，顶点向左平移2个单位，即新的顶点坐标变为，而开口大小不变，于是新抛物线的解析式为.方法2:直接运用函数图象左右平移的“左加右减”法则向左平移2个单位，即原来解析式中所有的“x”均要变为“”，于是新抛物线的解析式为，整理得，配方后得
12、.2.答案：B解析：二次函数(h为常数)，图象的开口向下，顶点坐标为，函数值的最大值为0,因为当时，与其对应的函数值y的最大值为-1，所以h不能取25(含2与5)间的数.当时.点在抛物线上.把代入,解得或(不合题意，舍去)；当时，点在抛物线上，把代入,解得或 (不合题意，舍去).综上可知，h的值为1或6，故选B.3.答案：C解析：4.答案：A解析：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后抛物线的顶点坐标是，所以平移后抛物线的解析式为：，故选：A考点：二次函数图象与几何变换5.答案：B解析：6.答案：A解析：按照“左加右减，上加下减”的规律解答解：二次函数的图象向上平移
13、2个单位，得故选A7.答案：B解析：8.答案：C解析：9.答案：D解析：10.答案：D解析：11.答案：C解析：12.答案：C解析：13.答案：D解析：由题意知抛物线的对称轴为，则，即,解得，故选D14.答案：C解析：设销售该商品每月所获总利润为W元，则，当时，W取得最大值，最大值为3600，即售价为80元时，销售该商品所获利润最大，故选C15.答案：1.依题意,得,解之,得抛物线解析式为.对称轴为,且抛物线经过,.把、分别直线,得,解之,得.直线的解析式为.2., .使最小的点应为直线与对称轴的交点.设直线与对称轴的交点为,把代入直线,得,.3.设,结合,得,若为直角顶点,则,即. 解之,得
14、.若为直角顶点,则,即.解之,得.若为直角顶点,则,即.解之,得,.综上所述,满足条件的点共有四个,分别为.解析： 16.答案：1.把和代入，得，解得则该抛物线的表达式为2.抛物线的表达式为，顶点坐标为，将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象所对应的的函数表达式为解析：17.答案：1.解:把,代入,得解得:故该抛物线的解析式为:2.由(1)知,该抛物线的解析式为,则易得整理,得或解得或则符合条件的点P的坐标为: 或或3.设直线的解析式为,将代入得解得: 即直线的解析式为设Q点坐标为,则D点坐标为当时, 有最大值解析：18.答案：1
15、.抛物线的表达式为2.点P的坐标为或;3.当时,的面积S能取最大值8,此时P点坐标为.解析：19.答案：1.直线解析式为2.N点的横坐标为:-;3.的值为:或4或或.解析：20.答案：1.抛物线的解析式为;2.过点作于点D在和中将代入抛物线解析式求得抛物线不经过点3.当时,点解析：21.答案：1.2.当时,S有最大值;3.当时,以三点为顶点的三角形与相似。解析：22.答案：1.二次函数的表达式为2.,顶点坐标为,对称轴方程为.函数二次函数的开口向下,顶点坐标为,与x轴的交点为,其图象为解析：23.答案：1.抛物线的解析式为2.2.5,或.3.或或解析：1.根据直线的解析式,可确定的坐标,代入抛
16、物线的解析式中,即可确定待定系数的值2.矩形有两个顶点在边上(设这两点为),首先设出的长为m,利用相似三角形得到的比例线段,可求得的表达式,进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值,从而确定出矩形的四顶点的坐标;矩形有一个顶点在边上(设为D),此时重合,方法同,首先设,由求出的长,进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式,从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值,进而确定矩形的四个顶点坐标3.分点P在点A的左边与右边两种情况,根据点P的坐标表示出的长,再利用的正弦值表示出,根据轴对称的性质表示出,利用的
17、正弦表示出,余弦表示出,从而可以表示出,再根据两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似,分两种情况列式求解即可.试题解析:(1)直线中,令,则;令,则;故;由于抛物线经过点,故;将B点坐标代入中,得:;抛物线的解析式为.(2)根据(1)中的函数解析式可知;则;故,是直角三角形,且.分两种情况讨论:如图1所示,矩形中在边上;设;由于轴,则,解得,;矩形的面积,即,时,矩形的面积最大为2.5;此时;如图2所示,矩形中,重合,D在边上;设,同可得:即,矩形的面积;即当时,矩形的最大面积为2.5;,即;综上所述,矩形的最大面积为2.5,此时矩形在边上的顶点坐标为,或.(3)根据(1)中的函数解析式可知,
18、则.如图,当点P在点A的右边时,点P的坐标为,两点关于直线轴对称,交于点M,当点P在原点的右侧时,.与相似,解得 (舍去),或,当点P在点A的左边时,点P的坐标为,两点关于直线轴对称,交于点M,当点P在点O右侧时, ,与相似,当点P在点O左侧时, ,与相似,解得或(舍去)综上所述,存在t的值,或或,使与相似.考点:二次函数综合题.24.答案：1. 2.存在这样的点M,使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,M点坐标为或或3.是直角三角形,理由:过点F作于点T,因为点B在抛物线上,所以,在中,因为,所以,又因为,所以.所以,又因为,所以,所以,所以.同理可得,所以,所以是直角三角形. 解析
19、：25.答案：1.一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线过A、B两点,解得.2.对于抛物线,令,则,解得或1,点C坐标,点D坐标,点E坐标,设直线为,把E、C代入得到解得直线为由解得或点M坐标3.是等边三角形,在和中,.如图中,当Q、R、P、C共线时,最小,作于N,于M,于K.,点Q坐标,在中,=,=,=,是等边三角形,=,=,=,=, =,点P坐标.的最小值为,此时点P的坐标.解析：26.答案：1.;2.或解析：27.答案：解析：二次函数的图象的顶点在轴下方，二次函数的图象与x轴有两个公共点.，即，解得. 28.答案：（答案不唯一）解析：依题意，设二次函数的解折式为，因为抛物线
20、的开口向上，所以a取正数即可.29.答案：解析：是二次函数，且，解得，在对称轴左侧的图象上，y随x的增大而增大，抛物线开口向下，. 30.答案：解析：结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可.试题解析:,图象的开口向上,故本小题错误;图象的对称轴为直线,故本小题错误;其图象顶点坐标为,故本小题错误;当时,y随x的增大而减小,正确;考点:二次函数的性质.31.答案：;-1解析：根据图表可得二次函数的顶点坐标为;和时所对应的函数值相同,则.考点:二次函数的性质32.答案：-2解析：33.答案：解析：根据函数图象向左平移加,向下平移减,可得答案.试题解析:将抛物线先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到抛物线的解析式是.考点:二次函数图象与几何变换.34.答案：1解析：35.答案：解析：抛物线开口向上，.又对称轴为，结论不正确；当时，结论不正确；如图，连接则阴影部分的面积即为平行四边形的面积.抛物线向右平移了2个单位，平行四边形的底是2.函数的最小值是，平行四边形的高是2，阴影部分的面积是，结论正确；，结论正确.综上，结论正确的是.
