1、函数周期性分类解析一定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、 若函数，则是以为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= (xR，a
2、0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称，则函数 是以为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、
3、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR，T0),则f()=0.三、典例讲解例1（05.福建12）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A6B7C4D5例2. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 例3. 已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。例4.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 （ ）A B C D例5. （天津卷05）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (
4、2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _例6（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 （ ） A.0B.1C.3D.5 四、巩固练习 已知偶函数是以为周期的周期函数，且当时，则的值为 2设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当时，则 3知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.求时，的表达式；证明是上的奇函数（朝阳模拟）已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值高三数学恒成立问题的类型及求解策略 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考
5、查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。一、 一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。二、 二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2定义在上的减函数，如果不等式组对任何都成立，求的取值范围。例3关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
6、三、 变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例4已知当xR时，不等式a+cos2x对于大于1的一切自然数n都成立, 求自然数m的最大值, 并证明所得结论。四、 直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)20. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若
7、在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.函数的对称性与周期性一 函数的对称性（一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。2、二次函数的图象关于直线 对称。3、三角函数的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ； 的图象的对称轴是 ，对称中心是 。4、函数若对于定义域内任意一个都有，则其图象关于直线 对称。5、函数若对于定义域内任意一个都有，则其图象关于点 对称。6、曲线关于直线与（）对称，则是周期函数且周期为（二）函数图象的互对称 所谓函数图象
8、的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。2、函数与函数的图象关于直线 对称。3、函数与函数的图象关于直线 对称。4、函数与函数的图象关于点 对称。二 函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.关于函数的周期性的结论：1、已知函数对任意实数,都有,则是以 为周期的函数；2、已知函数对任
9、意实数,都有=,则是以 为周期的函数；3、已知函数对任意实数,都有=-,则是以 为周期的函数.4、已知函数对任意实数,都有，则是以 为周期的函数5、已知函数对任意实数,都有f(xm)f(xm),则 是的一个周期.6、已知函数对任意实数,都有f(xm),则 是f(x)的一个周期.7、已知函数对任意实数,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.1 证明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab)证明：不妨设ab于
10、是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb) f(b(xb)f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期例题应用1、已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是（ ） A. B. C . D. 2、函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）A . B. C. D. 3、函数的图象的一条对称轴方程是（ ）A. B. C. D. 4、如果函数f(x)x2bxc对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1)5、
11、函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A. 1 B. C. D. 6、如果直线与均为曲线的对称轴且则的值为 。7、是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且当时，则当时，= 。8、如果直线与直线关于直线对称，则= ，= 。9、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ）A. 直线对称 B.直线对称 C. 直线对称 D.直线对称10、 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1) 所以f(x1)f(x)f(x2) 两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x
12、) f(x)是以6为周期的周期函数 20046334 f(2004)f(0)200411、 已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0)证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm 得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函数)a) 数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)
13、求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a1000a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2bab) 对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，
14、得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2练习题二次函数的对称性1已知是二次函数，图象开口向上, 比较大小。2若二次函数的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较的大小。3二次函数满足,求的顶点的坐标。4已知,且.（1）写出的关系式 （2）
15、指出的单调区间。5设二次函数满足,图象与轴交点为（0, 2），与轴两交点间的距离为2，求的解析式。函数的对称性、周期性与函数的解析式1已知是奇函数，当时，,求的解析式.2已知是偶函数，当时，,求的解析式.3已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。4设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x1时，y=x21，求当x1时, ,f(x)的解析式. 5设 , 求 关于直线对称的曲线的解析式. 6已知函数是偶函数，且x(0,+)时有f(x)=, 求当x(,2)时, 求 的解析式. 7已知函数是偶函数，当时，又的图象关于直线对称，求在的解析式. 定义在上的偶函数满足且当时,.（
16、1）求的单调区间;（2）求的值.8定义在R上的函数f(x)以4为周期,当x1,3时,f(x)=|x1|1, 求当x16,14时f(x)的最小值。9设f(x)是定义在区间(,)上以2为周期的函数,对kZ,用表示区间(2k1,2k+1,已知xI0时, 求f(x)在Ik上的解析式.10设是定义在（-,+）上的函数，对一切R均有，当1时，求当时，函数的解析式。11 设f(x)是定义在(,+)上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,当x2,3时,f(x)=2(x3)2+4. （1）求x1,2时,f(x)的解析式. （2）若矩形ABCD的两个项点A、B在x轴上,C、D在函数y=f(x)有图像上(0x2
17、),求这个矩形面积的最大值. 函数图象变换与函数解析式1设函数y=tanx的图像沿x轴正方向平移2个单位所得的图像为C,又设图像C与C关于原点对称, 求C所对应的函数解析式. 2将函数的图像向左平移一个单位，得到图像；再将向上平移一个单位得到，作出关于直线对称的图像，求的解析式.3把函数的图像沿x轴向右平移1个单位,所得图像记为C, 求C关于原点对称的图像的函数表达式.4将函数的图像沿x轴向左平移一个单位,再沿y轴翻折180o,得到的图像, 求的解析式. 5将函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，沿x轴方向向右平移个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式.6
18、将函数y=cosx的图像沿x轴向左平移得到曲线C,又设曲线C与C关于原点对称, 求C对的函数解析式.7已知函数y=3x的图象为C1，曲线C2与C1关于原点对称，求C2的解析式.8将函数的图象向左移a(a0)个单位得到图象C1，又C1和C2的图象关于原点对称，求C2的解析式.一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数T0，使得对一切xD，且x+TD时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫这个函数的周期。二.常见结论 (约定a0)（1），则的周期T=a；（2），或或，或,则的周期T=2a；例1：设是定义在上的奇函数，且5，则_，_答：5，5例
19、2：设是定义在上的偶函数，且满足，当0x1，2x，则_答：1例3：设是定义在上的奇函数，且， 2，则_答：2(3)，则的周期T=3a；(4)且，或则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.(7) 若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为4a的周期函数。（8）若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为4a的周期函数；若f(a + x)=f(ax) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为2a的周期函数。（
20、9）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；（10）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；（11）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；三.练习1、函数对于任意实数满足条件，若则_2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)23已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则（ ）A0B4C4D不能确定4定义在R上的函数为周期函数，最小正周期为T，若函数，时有反函数，则函数，的反函数为（ ）AB
21、CD6函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=1，则f (2006)等于 A0 B1 C一1 D27 设是上的奇函数，当时，则等于_(答：)；8定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_(答：)；9已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；10设是定义域为R的函数，且，又，则=(答：)11已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根（答：5）12已知是定义在上的函数，且，则（ ）A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数（答：C） 熟悉
22、并理解上述结论，可帮助我们快速完成下列习题。 若的图象关于直线和对称，则的一个周期为 A. B. C. D. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时， . （2007天津，7）在上定义的函数是偶函数，且，若在 区间上是减函数，则 A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数（2005天津，16）设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线 对称，则 . （2006山东，6）已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 A. B. C. D. 已知偶函数满足，
23、且当时，则的值等于 A. B. C. D. （2006广东佛山）设为R上的奇函数，且，若， ，则的取值范围是 . 函数对于任意实数满足条件，若，则等于 A. B. C. D. （山东临沂）已知定义在R上的函数满足下列三个条件： 对于任意的，都有； 对于任意的，都有； 函数的图象关于轴对称。 则下列结论正确的是 A. B. C. D. （江苏盐城）定义在上的偶函数满足，且在 上是增函数，下面是关于的判断： 是周期函数； 的图象关于直线对称； 在上是增函数； 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。（2005广东，19，12分）设函数在上满足， ，且在闭区间上只有 试判断函数的奇偶性； 试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。 函数的图象为，关于直线对称的图象为，将向左平移2个单位后得到图象，则对应函数为 A. B. C. D. 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则 . 答案： D； ； B； 0； B； D； 或 D； A； ； 非奇非偶函数； 802个根； A； 2003. 15 / 15
