1、九年级上册（RJ）22.1.1二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？导入新课导入新课图片引入1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0
2、时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a0)讲授新课讲授新课二次函数的定义一 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.探究归纳 问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？填空：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 .n-1112mn n答：21122m
3、nn 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？填空：这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=_.20(1+x)20(1+x)220(1+x)2答：y=20 x2+40 x+20；此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.函数有什么共同点
4、?函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 21122mnny=20 x2+40 x+20二次函数的定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结二次函数定义的应用二 例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知,解得=2 2;m 由（2）可知,解得m=3.
5、第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.注意典例精析273.mymx271,30,mm272,30,mm 解题小结：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+30.方法归纳 例2 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x21yx=不一定是，缺少a0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函
6、数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如 y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳 想一想 二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？联系联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是()A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数C1、把y=(2-3x)
7、(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是()Ay2x1 BCy3x21 D2yx211yxC-3x2-16124.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 cm2.课堂小结课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是
8、常数）.见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学习目标1知道二次函数的图象是一条抛物线.2会画二次函数y=ax2的图象.（难点）3掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用（重点）导入新课导入新课复习引入1.一次函数的图象是一条 .2.通常怎样画一个函数的图象？直线列表、描点、连线3.二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)4.下列函数中,哪些是二次函数？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12讲授新课讲授新课二次函数y=ax2的图象和性质一x-
9、3-2-10123y=x2 2你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?9410194探究归纳1.列表：在y=x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-40369xy 函数图象画法函数图象画法列表描点连线2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象 二次函数 y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线 y=x2，xyO-4-3-2-11234108642-2y=x2这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.观察思考24-2-4O369xyx-
10、3-2-10123y=x29410149 问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最低点.练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？列表：y24-2-40-3-6-9x 在对称轴左侧，抛物线从左往右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左往右下降.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.x-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-4-9 二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系二解：分别填表，再画出它们的图象，如图x432101234x21.51 0.500
11、.511.5284.520.5084.520.584.520.5084.520.5探究归纳例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象222,21xyxy 22246448问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？2221,22yxyxyx当a0时，a的绝对值越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象221,22yxyx x432101234x21.510.500.511.5284.52 0.5084.520.584.520.5084.520.522246448问题2 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？2221,22yxyxyx 当a0a0)的关系是
12、什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2例3.已知二次函数y2x2.(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_y2；(填“”“”或“”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OAOB，即图象左边部分与右边部分对称，
13、两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：23xy 23xy231xy 231xy开口方向 对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2（a 0），），过点（-1，2）.（1）则a的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 .（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值.抛物线在x轴的 方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x2课堂小结课堂小结二次函数y=ax2图 象 及 性 质画法描 点 法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛 物 线轴 对 称 图
14、 形性质重点关注4 个 方 面开口方向及大小对称轴顶 点 坐 标增减性见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.1.已知二次函数 y=-x2;y=x2;y=15x2;y=-4x2;y=-x2;y=4x2.(1)其中开口向上的有 (填题号)；(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；(3
15、)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).35910导入新课导入新课复习引入2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系?平行二次函数y=ax2+k的图象和性质(a a0)一画出二次函数 y=2x,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性。7x 1.5 1 0.5 00.511.5y=2x2-1 y=2x24.520.500.524.5y=2x2+1 3.51
16、-0.51-0.5-13.55.51.531.5135.565321-6-4-22464oy=2x2+1x-1y=2x2-1y=2x2对称轴对称轴右右侧侧y y随随x x增大增大而而增大增大.5321-6-4-2246122 xy22xy4oxy-1y=2x2-1对称轴对称轴左左侧侧y y随随x x增大增大而而减小减小解析式形状开口方向 对称轴顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性y=2x2-1y=2x2y=2x2+1向上向上直线直线x=0最低最低(0,0)(0,1)(0,-1)最小最小,y=0最小最小,y=1最小最小,y=-1对称轴左侧对称轴左侧y随随x增大而增大而减小减小对称轴右侧对称
17、轴右侧y随随x增大而增大增大而增大抛抛物物线线y2x31y23121xy23122xy-2-2422-4231xy23121xy23122xyx0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a a0)二做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 .(2)三条抛物线的开口方向_;(3)对称轴都是_(4)从上而下顶点坐标分别是 _(5)顶点都是最_点，函数都有最_值，从上而下最大值分别为_、_(6)函数的增减性都相同：_抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)高大大y=0y=-2y=2231xy23122xyy-2-222-423121xyx0对称轴
18、左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小解析式形状开口方向对称轴顶点坐标顶点高低函数最值函数的增减性a0a0a0a0a0a0a0a0 y=ax2+ka0)向上x x=0向向下下最低最高对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小（0，k）最小，y=k最大，y=k抛物线二次函数y=ax2+k（a 0）的图象和性质归纳总结例2：已知二次函数yax2+c,当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当xx1+x2时，其函数值为_.解析：由二次函数yax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x20.把x0代入二次函
19、数表达式求出纵坐标为c.c方法总结：二次函数yax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数解析式y=2x22x2+1y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表xy=2x2-1y=2x2y=2x2+14.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三可以看出，y=2x2 向_ 平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+15321-6-4-2246122 xy22xy4o-1122xy可以看出，y=2x2 向_ 平移一
20、个单位长度 得到抛物线y=2x2-1xy从形的角度探究上上下下二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k 20=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.能力提升6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=_.7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=_.8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_.9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同
21、一坐标系中的是 ()xy0 xy0 xy0 xy0ABCD2-28B课堂小结课堂小结二次函数y=ax2+k（a0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象和性质1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象.2.能说出抛物线y=a(x-h)2(a0)与抛物线y=ax
22、2(a0)的相互关系.3.能说出抛物线y=a(x-h)2(a0)的开口方向、对称轴、顶点.学习重点学习重点抛物线y=a(x-h)2(a0)与抛物线y=ax2(a0)的平移规律.学习难点学习难点学习目标导入新课导入新课复习引入a的符号a0,k0a0,k0a0a0,k0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,k）（0,k）当x0时，y随x增大而增大.当x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k问题1 说说二次函数y=ax2+k(a0)的图象的特征.问题2 二次函数 y=ax2+k（a0）与 y=ax2（a 0）的图象有何关
23、系？二次函数y=ax2+k（a 0）的图象可以由 y=ax2（a 0）的图象平移得到：当k 0 时，向上平移k个单位长度得到.当k 0,开口向上a0,开口向上；当a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y
24、轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？216212yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx216212yxx配方可得2221(126642)2xx21(1242)2xx2221(126)6422xx21(6)62x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶
25、点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？216212yxx9 98 87 76 65 54 43 3x解:先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.216212yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=-
26、2x2-4x+1的图象和性质吗？O将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax+bx+c 归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质2224().24bacbyaxbxca xaa24(,).24bacbaa.2bxa 归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)xyOxyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.如果a0,当x 时，y随x的增大而减小.2bxa 2bxa 2ba2ba2ba2ba例1 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而
27、减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D.2(1)bxb D典例精析练一练 填表：填表：顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13例2 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc
28、0；(ac)2b2.其中正确的个数是 ()A1B2C3D4D由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a a,b b,c c的关系一【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系a决定开口方向：a0开口向上；a0开口向下；a，b同号
29、对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；c0经过原点；c0与y轴的交点位于x轴的上方；c0与y轴的交点位于x轴的下方；当x1时，y的值为abc，当x1时，y的值为abc当对称轴x1时，x 1，b2a，此时2ab0；当对称轴x1时，1，b2a，此时2ab0 因此，判断2ab的符号，需判断对称轴x 与1的大小，若对称轴在直线x1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2ab的符号，同理需判断对称轴与1的大小.ab2ab2ab2 12ba-1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x=C.直线x=2 D.直线x=则
30、该二次函数图象的对称轴为()D当堂练习当堂练习52322.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx 直线x=33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,243.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是 （）23A B C DxyO2x=-1BOyx1234.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等
31、；（3）4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）课堂小结课堂小结24(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacbya xaa见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 学习目标1.会用待定系数法求二次函数的解析式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k0)有几个
32、待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）讲授新课讲授新课一般式法二次函数的解析式一探究归纳问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（），（-1，0），（），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
33、选取（-3，0），（），（-1，0），（），（0，-3），），试求出这个二次函数的解析式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：设函数解析式为y=ax2+bx+c；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.归纳总结一般式法求二次函数解析式的方法 解：（-3，0）（）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c
34、与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，所求的二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（），（-1，0），（），（0，-3），），试出这个二次函数的解析式.交点法二次函数的解析式二xyO1 2-1-2-3-4-1-2-3-4-512归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)
35、；先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；将方程的解代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数解析式.想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴.顶点法求二次函数的解析式三 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），），试求出这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-
36、3.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数解析式是y=a(x-h)2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数解析式.想一想 直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二次函数对应的函数值是多少？x-3-2-1012y010-3-8-15-15 利用二次函数图象的对称性.即由表格信息可知，抛物线的对称轴是直线x=-2,横坐标为2和-6的两点必定是该抛物线上的一对对称点，故可知x=-6与x=2的函数值必定相等.xyO1 2-1-2-3-4-1-2-3-4-5-5-6-6-
37、7-8-9-10-11-12-13-14-15-1612y=-x2-4x-3当堂练习当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .234yx=注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO1 2-1-2-3-4321-13452.过点（2，4），），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是 .顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.综合题：如图，已知二次函数 的图象经过A(2，0)，B(0，6)两点(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求
38、ABC的面积212yxbx c=-+ABCxyO(1)2146;2yxx(2)ABC的面积是6.课堂小结课堂小结已知三点坐标已知顶点坐标或对称轴或最值已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.2二次函数与一元二次方程第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
39、3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.导入新课导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2（2）球的飞行高
40、度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.1 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c
41、=0根的关系图象法解一元二次方程三由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的例例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).2224644824y=x22x2解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7，x22.7.判断方程 ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3 x 3.23 B.3.23 x 3.24 C.3.24 x 3.25 D.3.25 x0？（3）x取什么值时
42、，y0？xyO248解：（：（1）x1=2,x2=4;（2）x4;（3）2x4.课堂小结课堂小结二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c(a 0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a 0),右边换成y时就成了二次函数.二次函数与一元二次方程根的情况二次函数二次函数与与x轴的轴的交点个数交点个数一元二次方程根的情况判别式 的符号见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 几何图形的最大面积学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系
43、.（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）导入新课导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1）y=x2-4x-5;(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（，）；最大值：.3-23-2254254引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t 2（0t6）小球的运动时间是多少时，小
44、球最高？小球运动中的最大高度是多少？二次函数与几何图形面积的最值一讲授新课讲授新课t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h=30t-5t 2 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.由于抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y=ax 2+bx+c 有最小（大）值2bxa 244acbya如何求出二次函数 y=ax 2+bx+c 的最小（大）值？小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m303225bta （），2243045445
45、acbha（）t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h=30t-5t 2 例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时，S有最大值 301522(1)bla 2243022544(1)acba 也就是说，当l是1 15m时，场地的面积S最大
46、.5 510101515 2020 25253030100100200200lsO变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成
47、一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则26013022xSxxx 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 0 x 18.18.问题6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶
48、点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .28m3当堂练习当堂练习2.如图2，在ABC中，B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始
49、BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图233.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91
50、000=9000（元）课堂小结课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定见本课时练习课后作业课后作业九年级上册（RJ）22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 商品利润最大问题 学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）导入新课导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
