1、18.1 勾股定理第18章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学下（HK）教学课件第1课时 勾股定理学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.导入新课导入新课情景引入据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和
2、国家都对勾股定理有所了解.勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：讲授新课讲授新课勾股定理的认识及验证一 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：ABC问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ABCSSS正方形正方形正方形ABC一直角边2另一直角边2斜边2+=问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有
3、类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：C15 5423132S C177443252S左图：右图：方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：C14231 1132S C14431 1252S 左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？根据前面求出的C的面积直接填出下表：A的面积B的面积C的面积左图右图4 1325916 9思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？命题1 如果直角三角形的两条直角
4、边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：abc下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.abbc cabca证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.abcS大正方形c2，S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，赵爽弦图b-a证明：“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.222214.2cabbaab证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三
5、角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.aaaabbbbcccca2+b2+2ab=c2+2ab，a2+b2=c2.证明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，12aabbcc1()(),2Sabab梯形证明：2111,222Sababc梯形a2+b2=c2.证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.abc青入青方青出青出青入青入朱入朱方朱出青朱出入图课外链接 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC
6、 于 M.通过证明BCFBDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得222ABACBC 欧几里得证明勾股定理推荐书目在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.u公式变形：222222-,acbbcacab,u勾股定理abc归纳总结在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股
7、2=弦2小贴士 例1 如图，在RtABC中，C=90.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得222255505 2.cab(2)据勾股定理得2222213.bca 利用勾股定理进行计算二CAB（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，A=30,求a,c.【变式题1】在RtABC中，C=90.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得5x，5.a(2)30,15,Ab2.ca因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得5 3.x 5 310 3.ac，已知直角三角形两边关系
8、和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳【变式题2】在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB22437;BC 22435.BC 图图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25，即 AB=5.根据三角形面积公式，ACBC=ABCD.CD=.ADBC3
9、41212125 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用归纳练一练 求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得 81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得 y2+144=169，解得 y=5当堂练习当堂练习1.下列说法中,正确的是 （）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .8 cm10 cm36 cm3.在ABC中
10、，C=90.（1）若a=15，b=8，则c=.（2）若c=13，b=12，则a=.4.若直角三角形中，有两边长是6和8，则第三边长的平方为_.17528或1005.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289225=64，x=8（负值舍去），另一直角边长为8 cm，直角三角形的面积是 (cm2).6.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周长解：ADBC，ADB=ADC=90在RtADB中，B+BAD=90，B=45，B=BAD=45，BD=AD=1，
11、AB=在RtADC中，C=30，AC=2AD=2，CD=，BC=BD+CD=1+，AB+AC+BC=233332解：AEBE，SABE AEBE AE2.又AE2BE2AB2，2AE2AB2，SABE AB2 ；同理可得SAHCSBCF AC2 BC2.又AC2BC2AB2，阴影部分的面积为 AB2 .7.如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，求ABE及阴影部分的面积.1212149414141292能力提升：课堂小结课堂小结勾股定理内容在RtABC中，C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是
12、直角边还是斜边时一定要分类讨论18.1 勾股定理第18章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学下（HK）教学课件第2课时 勾股定理的应用学习目标1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点）情景引入数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面视频，你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？导入新课导入新课问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？这个跟我们学的勾股定
13、理有关，将实际问题转化为数学问题勾股定理的简单实际应用一讲授新课讲授新课例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC典例精析解：在RtABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5 52.24.AC AC大于木板的宽2.2m,木板能从门框内通过.分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.ABDCO 解：在RtABC中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理得OD2=CD2-O
14、C2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,3.151.77,OD1.7710.77.BDODOB 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？8 米6米 8 米米6米米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在RtABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得22
15、226810.ABACBC米这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用解决1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A练一练CAB2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩
16、伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？解：(1)在Rt ABC中，根据勾股定理得这条“径路”的长为5米.（2）他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).别踩我,我怕疼!22345AB 米，A21-4-3-2-1-12 3145利用勾股定理求两点距离及验证“HL”二例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.yOx3BC解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.AC=5-2=3，BC=3+1=4，在RtABC中，由勾股定理得A,B两点间的距离为5.225.ABACBC方法总结：
17、两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点2211222121,.A x yB xyABxxyy则思考思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在RtABC 和RtA B C 中，C=C=90，AB=A B，AC=A C 求证：ABCA B C A B C ABC 22BCABAC，=-=-证明：在RtABC 和RtA B C 中，C=C=90，根据勾股定理得A B C ABC 22.B CA BA C ,ABAB ACAC Q.BCB C(SSS).ABCA B C CBA问题 在A点的小狗
18、，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？AC+CB AB（两点之间线段最短）思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？利用勾股定理求最短距离三BAdABAABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A 蚂蚁AB的路线问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？BA根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3.BA3O12侧面展开图 123ABAA 解：在RtABA中，由勾股定理得2222123 315.ABAAB
19、A 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.归纳例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3）?ABABAB解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离.AA=232=12,AB=5,AB=13.即梯子最短需13米.典例精析数学思想：立体图形平面图形转化展开B牛奶盒牛奶盒A【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么
20、？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得AB1AB2AB3.小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .2 74例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BAC东北解：如图，作出点A关于河岸的对称点A，连接AB则AB就是最短路线.由题意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km.在RtADB
21、中，由勾股定理得2215817.A B 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.归纳如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.AB解：由题意得AC=2，BC=1,在RtABC中，由勾股定理得 AB=AC+BC=2+1=5，AB=，即最短路程为 .21ABC55练一练1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B
22、的距离是（）A.24m B.12m C.m D.cm 742 6D当堂练习当堂练习2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_.104.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？ABC解：如图，过点A作ACBC于点C.由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，答：小鸟至少飞行10米.2210ABACBC米.5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
23、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC解：台阶的展开图如图，连接AB.在RtABC中，根据勾股定理得AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？能力提升：解：如右下图，在RtABC中，AC36cm，BC108427(cm)由勾股定理，得AB2AC2BC2
24、3622722025452，AB45cm，整个油纸的长为454180(cm)课堂小结课堂小结勾股定理的应用用勾股定理解决 实 际 问 题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题解决“HL”判定方法证全等的正确性问题18.2 勾股定理的逆定理第18章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学下（HK）教学课件第1课时 勾股定理的逆定理学习目标1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定 理的概念、关系及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）导入新课导入新课B C A 问题1 勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边
25、长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：a3，b4；a2.5，b6；a4，b7.5.c=5c=6.5c=8.5复习引入思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.情景引入思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4
26、,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.讲授新课讲授新课勾股定理的逆定理一下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？0180150120906030724255131217815是下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,13满足52+122=132,7,24,25满足
27、72+242=252,8,15,17满足82+152=172.问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足.a2+b2=c2我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题3 据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.ABC ABC？C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形构造两直角边分别为a,b的RtABC证一证:证明：作Rt
28、ABC，使C=90，AC=b，BC=a，ABC ABC(SSS)，C=C=90 ，即ABC是直角三角形.则22222ABBCACab .222abcQ，22.A BcA Bc ，ABCA B C在和中A CACB CBCA BAB ，C B aAbcACaBbc勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.特别说明：归纳总结 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形
29、？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15 ，b=8 ，c=17;解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2)a=13，b=14 ，c=15.(2)132+142=365，152=225，132+142152，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳【变式题1】若ABC的三边a,b,c满足 a:b:c=3:4:5，是判断ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0),(3k)2
30、+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,(3k)2+(4k)2=(5k)2,ABC是直角三角形，且C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角.如果三角形的三边比中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.归纳【变式题2】(1)若ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明ABC是直角三角形.14解：因为a+b=4,ab=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又因为c2=14,所以a2+b2=c2,所以ABC是直角三角形.(2)若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2
31、+50=6a+8b+10c.试判断ABC的形状.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即(a3)+(b4)+(c5)=0.a=3,b=4,c=5，即 a2+b2=c2.ABC是直角三角形.例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由 解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a,则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF21
32、6a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.14练一练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7 C2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （）A4 B3 C2.5 D2.4D3.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是_.等腰三角形或直角三角形如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数二概念学习常见勾股数：3，4，5；
33、5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.下列各组数是勾股数的是 ()A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.练一练当堂练习当堂练习1.下列各组数是勾股数的是 ()A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角
34、形 ()A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形BA3.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式 ，则ABC的形状是 _2220cabca+-+-=等腰直角三角形4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm;125.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：AB+BC=(n-1)+(2n)=n4-2n+1+4n =n4+2n+1 =(n+1)=AC，ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.6.如图，在
35、四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD 的面积.5 2222268100,ABBC解：+=+=2222(52)(52)100ADDCQ，+=+=2100AC，=ABC是直角三角形且B是直角.222,ADDCAC+=ADC是直角三角形且 D是直角，S 四边形 ABCD=11685 25 249.22创+创=222,ABBCAC+=课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理内 容作用从三边数量关系判定 一 个 三 角 形 是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，C也不一定是直角.勾股数一
36、定是正整数18.2 勾股定理的逆定理第18章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学下（HK）教学课件第2课时 勾股定理的逆定理的应用学习目标1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题.（难点）导入新课导入新课问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?回顾与思考 a2+b2=c2(a,b为直角边，c斜边）RtABC,C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）RtABC，且C是直角.(2)等腰 ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,
37、则BC 边上的高是 cm.8(1)已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形 为 三角形，是最大角.直角A快速填一填：思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.讲授新课讲授新课12勾股定理的逆定理的应用一例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一
38、个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP QR问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEP QR161.5=24121.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根据题意得PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.由“远航”号沿东北方向航行可知1=
39、45.2=45，即“海天”号沿西北方向航行.NEP QR12 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.归纳【变式题】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD 分析：根据勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式
40、可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：AC=10，AB=6，BC=8，AC2=AB2+BC2，即ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有 BCAB=ACBD，即68=10BD，解得BD=在RtBCD中，22222486.4().5CDBCBD海里又该船只的速度为12.8海里/时，6.412.8=0.5（小时）=30（分钟），需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北PABCQD24.51212例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DA
41、BC图图在BCD中，BCD 是直角三角形，DBC是直角.这个零件符合要求.解：在ABD中，ABD 是直角三角形，A是直角.DABC4351312图 1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，BC2+AB2=AC2，即ABC是直角三角形，B=90.答：C在B地的正北方向练一练2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：ABDC8m，ADBC6m
42、，AB2BC282626436100.又AC29281，AB2BC2AC2，ABC90，该农民挖的不合格例3 如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的综合应用二解：连接AC.ADBC341312在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，ACD是直角三角形，且ACD=90.S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.2222345,ACABBC
43、 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.归纳【变式题1】如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.解：连接BD.在RtABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，BD=5m.又 CD=12cm，BC=13cm,BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD=BDCD ABAD =(51234)=24(cm2)121212CBAD【变式题2】如图，在四边形ABCD中
44、，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.解:SACD=30 cm2，DC12 cm.AC=5 cm.又ABC是直角三角形,B是直角.DCBA例4 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC 5，BD=2（1）求证：BCD是直角三角形；（2）求ABC的面积（1）证明：CD=1，BC 5，BD=2，CD2+BD2=BC2，BDC是直角三角形.（2）解：设腰长AB=AC=x，在RtADB中，AB2=AD2+BD2，x2=(x-1)2+22，解得5.2x 11552.2222ABCSAC BD用到了方程的思想1.医院、公园和超
45、市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.东医院公园超市北65当堂练习当堂练习2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （）A.B.C.D.D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：出发2小时，A组行了122=24(km)，B
46、组行了92=18(km)，又A，B两组相距30km，且有242+182=302，A，B两组行进的方向成直角4.如图，在ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.解：BC=16，AD是BC边上的中线，BD=CD=BC=8.在ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，ABD是直角三角形，即ADB=90ADC是直角三角形.在RtADC中，AB=AC.12222215817ACADCD，5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40的方向向目标A的前进，
47、同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根据题意得OA=161.5=24(海里),OB=121.5=18(海里)，OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，OB2+OA2=AB2，AOB=90.第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40的方向向目标A的前进，BOD=50，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，3x+4
48、x+5x=36，解得x=3.AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)，在RtPBQ中，由勾股定理得6.如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长22393 10(cm).PQ 课堂小结课堂小结勾股定理的逆定理的应用应 用航海问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定 理 来 解 决 问 题与勾股定理结合解决不规则图形等问题
