1、直线的参数方程预备知识：预备知识：1.向量共线的条件向量共线的条件abaab)0(/2.直线直线l的方向向量是指：的方向向量是指：与直线与直线l平行的非零向量平行的非零向量000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：,t令该比例式的比值为 即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0 x=x整理，得到是参数）0 x0y000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0M M
2、 xOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00,)()x yxy（00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos,sin)e00/,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程的标准形式为（为参数）经过点经过点M(x0,y0),倾斜角为倾斜角为 的直线的直线l的的参数方程：参数方程：)(sincos00为参数ttyytxx参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？|0MMt|0MMt eyx0),(000yxMl),(
3、yxM重合与则点若方向向下则若方向向上则若000,0,0,0MMtMMtMMt辨析:1 9(1 12xttyt 为参数）没有请思考请思考:此时此时的的t有没有前有没有前述的几何意义述的几何意义?特征分析：abt当、满足什么条件，可使 有上述的几何意义？0000cossin(xxttyytxxattyybt若把直线的参数方程的标准形式（为参数，0,）)改写为：为参数）重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式直线的参数方程可以写成这样的形式:2201b0=cos,sin;abt M Mab当且时，此时我们可以认为若0,），则 为倾斜角。00(xxattyybt为参数）221abt当时，没有上述的
4、几何意义，我们称起为非标准形式。2202222022(axxab tabtbyyab tab）为参数）（）00(xxattyybt为参数）如何将其化为如何将其化为标准形式标准形式?2202222022(axxab tabtbyyab tab）为参数）（）00cossinxxtytyt（为参数）222222=cos;sin;,abab ttabab设:则b0t当时，有上述的几何意义。(2,-1)110B1 9(1 12xttyt 为参数）：将下列直线的参数方程化为标准形式（1）（2）1 9(1-12xttyt 为参数）（3）1-9(1-12xttyt为参数）倾斜角3cos20(2+sin20oo
5、xttyt 为参数）：将下列直线的倾斜角（1）（2）3cos20(2sin20ooxttyt 为参数）（4）3sin20(2cos20ooxttyt 为参数）3-cos20(2+sin20ooxttyt 为参数）（3）22.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.ABM(-1,2)xyO22.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。ABM(-1,2)xyO解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成易知直线的倾斜角为34212(222xttyt 即为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由参数 的几何意义得1210ttAB121 22MAMBttt tABM(-1,2)xyO(3,4)B944 33(,)25 25
