1、1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差1.2 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差知识回顾知识回顾（1）离散型随机变量的分布列的概念、性质）离散型随机变量的分布列的概念、性质（2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子子 问
2、题引入问题引入某射手射击所得环数某射手射击所得环数 的分布列如下：的分布列如下：45678910P0.020.04 0.06 0.09 0.280.290.22 能否根据分布列估计射手能否根据分布列估计射手n 次射击的平均环数？次射击的平均环数？在在n 次射击中，预计有大约：次射击中，预计有大约：nnP02.0)4(次得次得4环，环，nnP04.0)5(次得次得5环，环，nnP22.0)10(次得次得10环环n 次射击的总环数约等于次射击的总环数约等于n )22.01004.0502.04(n 次射击的平均环数约等于次射击的平均环数约等于32.822.01004.0502.04 新授课新授课一
3、般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 P1x1p2x2pnxnp则称则称 nnpxpxpxE2211 为为 的的数学期望数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为或平均数、均值，数学期望又简称为期望期望 新授课新授课则称则称 nnpbaxpbaxpbaxE)()()(2211 Pbax 11pbax 22pbaxn np若若 ，其中，其中a，b b 常数，则常数，则 的分布列为的分布列为 ba )()(212211 nnnpppbpxpxpxabaE 即即baEbaE )(例题讲解例题讲解 例例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得、篮球运动员在比赛中每次罚球命
4、中得1分，罚不中得分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得，求他罚球一次的得分分 的期望的期望 解：因为解：因为 ，所以，所以7.0)1(P3.0)0(P)0(0)1(1 PPE7.03.007.01 例题讲解例题讲解例例2、随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数、随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的期望的期望 解：投掷骰子所得点数解：投掷骰子所得点数 的概率分布为的概率分布为 654321616161616161 P所以所以616615614613612611 E5.361)654321(例题讲解例题讲解 例例3、有一批数量很大的产品，
5、其次品率是、有一批数量很大的产品，其次品率是15%对这批产对这批产品进行抽查，每次抽出品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过10次求抽查次数次求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字）的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数解：抽查次数 取取110的整数，从这批数量很大的产品中的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概率是率是0.15，取正品的概率是，
6、取正品的概率是0.85，前，前k-1次次取出正品而第取出正品而第k 次次（k=1,29)取出次品的概率取出次品的概率)9,2,1(,15.085.0)(1 kkPk 需要抽查需要抽查10 次即前次即前9次取出的都是正品的概率是次取出的都是正品的概率是985.0)10(P例题讲解例题讲解由此可得由此可得 的概率的分布列：的概率的分布列：0.23160.04090.04810.05660.06660.07830.0920.10840.12750.15P10987654321 可得可得 的期望的期望 35.52316.0101275.0215.01 E例题讲解例题讲解例例4、证明：服从二项分布、证明
7、：服从二项分布 的随机变量的期望的随机变量的期望),(pnB.npE 01110010qpnCqpkCqpCqpCEnnnknkknnnnn )(0111)1()1(11121111001qpCqpkCqpCqpCnpnnnknkknnnnn npqpnpn 1)(所以，所以，npEpnB 则则若若),(knkknknkknqpCppCkP )1()(证明：证明：例例5 5：一次英语单元测验由：一次英语单元测验由2020个选择题构个选择题构成，每个选择题有成，每个选择题有4 4个选项，其中有且仅个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得案得5
8、 5分，不作出选择或选错不得分，满分，不作出选择或选错不得分，满分分100100分。学生甲选对任一题的概率为分。学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4 4个选项个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。这次英语单元测验中的成绩的期望。解解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是选择了正确答案的选择题个数分别是 和和，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)，B(20B(20，0.25)0.25)，EE20200.
9、90.91818，EE20200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是次英语测验中的成绩分别是55和和55。所以，所以，他们在测验中的成绩的期望分别是他们在测验中的成绩的期望分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525结论结论(2)：若：若p(=k)=g(k，p)，则，则E=1/p服从服从几何分布几何分布的随机变量的期望的随机变量的期望 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 E =p+2pq+3pq2+kpqk-1+qE =pq+2pq2+3pq3+kpqk+(1-q)E =p+pq+pq2+pq3+pqk+11qpPqE111小结小结：1、随机变量的数学期望。、随机变量的数学期望。2、公式、公式3、若、若B(n,p)，则，则E=npE（a+b）=a E+b4：公式：若：公式：若p(=k)=g(k，p)，则，则E=1/p
