1、一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于,t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.
2、极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,lim:0);()(,)(,)(000000000 xxxyxxfyxxfyxyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点极限为函数并称这个处可导在点则称函数存在时的极限之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义定义.)()(lim
3、)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.)(lim)(00定动定动）ffxfxxxfxffxx)0()(lim)0(,000若xxffxfxx)(lim)0(0)(,0000则且若.,0而变化的快慢程度因变量随自变量的变化了它反映处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：Ax
4、xfxxfxyyxxxx)()(limlim00000)(xxAy变化越大越大越大，一定，yyAx,.反映了变化的快慢程度A.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意:.)()(00 xxxfxf如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导
5、.2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.ttxftxfAxft)2()2(lim,)(0000求例：txftxfxftxfttxftxftt)()2()()2(lim)2()2(lim00000000解：Atxftxftxftxftt42)()2(lim22)()2(lim200000
6、0。）既不充分，也不必要）充分条件，（）必要条件，）充要条件，（存在的（）存在，是4321)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx)()(2)()(lim)()(lim)()()()(lim)()(lim)(0000000000000000充分条件存在存在，xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxfxxxfxxfxfxxxx无理数有理数反例：xxxf01)(无理数有理数xxxfxf00)()(0)()(lim000 xxxfxxfx不存在无理数有理数不连续，xxfxxfxfxfx1)(lim10)0()()(0时当00 x两个极限不存在，它们和差极限可能存在。两个极限不存在，它
7、们和差极限可能存在。选（选（3）三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22
8、1cos)(sin00 xxxx)0(sinxxx1sinlim0sinsinlim)(sin000 xxxxxxxx例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 例例4 4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.)(xxee )1()0(
9、ln1xexaxaxxahahaaahhhhxxln1limlim|)(0000例例5 5.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点不可导点不可导
10、在在函数函数 xxfy四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk
11、21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续
12、的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意:该定
13、理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.31xyxy01)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如,1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(.30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy.)()(,)(.4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导
14、数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小结六、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)
15、(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf
16、 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值一、一、填空题：填空题：1 1、设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx,_)()(lim000 xxfxxfx .2 2、已
17、知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts (米米)，则该物体在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_._.3 3、设设321)(xxy,221)(xxy,53223)(xxxxy,则则它们的导数分别为它们的导数分别为dxdy1=_=_，dxdy2=_=_，dxdy3=_.=_.练习题练习题4 4、设设2)(xxf,则则 )(xff_ _；)(xff_._.5 5、曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出
18、义观察下列极限，分析并指出A表示什么？表示什么？1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0；2 2、Ahhfh)(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在；3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000.三、证明：若三、证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)0(f 存在，则存在，则0)0(f.四、四、设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续；（2 2）可导；）可导；（3 3）导数连续）导数连续.五、五、设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf,为了使函数为了使函数)(xf在在
19、1 x处连续且可导，处连续且可导，ba,应取什么值应取什么值.六、六、已知已知 0,0,sin)(xxxxxf,求求)(xf.七、七、证明：双曲线证明：双曲线2axy 上任一点处的切线与两上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于坐标轴构成的三角形的面积都等于22a.八八、设设有有一一根根细细棒棒，取取棒棒的的一一端端作作为为原原点点，棒棒上上任任意意点点的的坐坐标标为为x，于于是是分分布布在在区区间间1,0上上细细棒棒的的质质量量m是是x的的函函数数)(xmm 应应怎怎样样确确定定细细棒棒在在点点0 x处处的的线线密密度度（对对于于均均匀匀细细棒棒来来说说，单单位位长长度度细细棒棒
20、的的质质量量叫叫作作这这细细棒棒的的线线密密度度）？一、一、1 1、)(0 xf ；2 2、)(0 xf ；3 3、6533161,2,32 xxx；3 3、24x,22x；5 5、01 yx.二、二、1 1、)(0 xf ；2 2、)0(f ；3 3、)(20 xf .四、四、(1)(1)当当0 k时时,)(xf在在0 x处连续；处连续；(2)(2)当当1 k时时,)(xf在在0 x处可导处可导,且且0)0(f；(3)(3)当当2 k及及0 x时时,)(xf 在在0 x处连续处连续.五、五、1,2 ba.六、六、0,10,cos)(xxxxf.八、八、0 xxdxdm.练习题答案练习题答案2
21、.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的
22、极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.
