1、一、选择题1已知数列的前n项和为，对任意的都有，则（ ）ABCD2记为数列的前项和若点，在直线上，则（ ）ABCD3已知等差数列满足，则该数列中一定为零的项为（ ）ABCD4已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD5某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品计划从年开始每年比上一年获利增加，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过万元（已知，）A年B年C年D年6数列的通项公式是，若前项的和为，则项数为（）ABCD7已知数列的前项的和为，且，则（ ）A为等比数列B为摆动数列CD8对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前n项和为，
2、则（ ）A2019B2020C2021D20229已知等比数列的前n项和为，若，则，（ ）A10B15C20D2510在等比数列中，若，则通项等于（ ）ABCD11设为等差数列，为其前项和，若，则公差( )A-2B-1C1D212设为等比数列，给出四个数列：，.其中一定为等比数列的是（ ）ABCD二、填空题13给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为_.14在各项均为正数的等比数列中，公比.若，数列的前n项和为，则当取最大值时n的值为_.15定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和给出下列命题：“等
3、和数列”一定是常数数列；如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；数列是“等和数列”且公和，则其前项之和；其中，正确的命题为_（请填出所有正确命题的序号）16已知数列，则_17定义表示实数中的较大的数已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为_18若数列是正项数列，且，则_19记为等差数列的前项和，若，则_.20已知数列中，若，则_三、解答题21设数列满足，其中.（1）证明：是等比数列；（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.22在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设是数
4、列的前n项和，且，_，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分23已知数列为等差数列，其前项和为，且.（1）求的通项公式（2）设，求数列的前项和.24已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.25在数列为递增的等比数列，且，数列满足，数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答问题：设数列的前n项和为，_（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和26设数列的前项和为，_从数列是公比为2的等比数列，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在下面
5、问题中，并作答（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.【详解】数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆
6、成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.2C解析：C【分析】由题可得，根据，可求得为等比数列，进而可求得本题答案.【详解】因为点在直线上，所以.当时，得；当时，-得，所以数列为等比数列，且公比，首项，则.故选：C【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式的方法.3B解析：B【分析】由条件可得,进而得,从而得解.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了等差
7、数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.4C解析：C【分析】先利用求出数列的通项公式，于是可求出，再利用参变量分离法得到，利用数列的单调性求出数列的最小项的值，可得出实数的取值范围【详解】当时，即，得；当时，由，得，两式相减得，得，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.，由，得，所以，数列单调递增，其最小项为，所以，因此，实数的取值范围是，故选C【点睛】本题考查利用数列前项和求数列的通项，其关系式为，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题5C解析：C【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通
8、项公式，根据题意可得出关于的不等式，解出的值，注意其中对数式的计算【详解】由题意，设从年开始，第年的获利为万元，则数列为等比数列，其中年的获利为首项，即.年的获利为万元，年的获利为万元，数列的通项公式为，由题意可得，即，从年开始这家加工厂年获利超过万元故选：C【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算属于中档题6C解析：C【解析】分析：由已知，利用裂项相消法求和后，令其等于，得到所满足的等量关系式，求得结果.详解： ，数列的前项和 ，当时，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应
9、的求和方法-错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n的等量关系式，从而求得结果.7D解析：D【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.【详解】因为，当时，解得：，当时，-得：，即，所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，所以，所以，所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，故选项不正确，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8D解析：D【分析】根据，且，得到，然后利用数列通项与前n项和的关系求得，再利用等差数列求和公式求解.【详解】，且，当时，有，两式相减可得：.（）.当时，适合上式
10、.则数列是以3为首项，以2为公差的等差数列.故选：D.【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.9A解析：A【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得，结合的值进而可得结果.【详解】，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.10A解析：A【详解】设等比数列an的公比为q，a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62，q=2，a1(1+q+q2+q3+q4)=31，则a1=1，故an=2n1.故选A.11A解析：A
11、【分析】由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.【详解】由题意可得：，则，等差数列的公差.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12D解析：D【分析】设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设，,所以数列是等比数列；，所以数列是等比数列；，不是一个常数，所以数列不是等比数列；，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题132026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化
12、为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026【分析】根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，可求得区间内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：，得为整数，分别可取，最大值，则最大可取10，故所有“和谐数”的和为.故答案为：2026.【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.148或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均
13、为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列和的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得，进而得到，再结合数列取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列中，若，所以，解得，所以，解得或，因为，所以，所以.又由.所以，则，当时，；当时，；当时，故当或时，取最大值.故答案为：8或9.【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15【分析】利用等和数列的定义对每一个命题
14、逐一分析判断得解【详解】等和数列不一定是常数数列如数列是等和数列但是不是常数数列所以该命题错误；如果一个数列既是等差数列又是等和数列则这个数列一定是常数列解析：【分析】利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】“等和数列”不一定是常数数列,如数列是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列是等差数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以所以所以，所以，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列是等比数列，所以，如果数列是
15、“等和数列”，所以所以所以，所以，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.数列是“等和数列”且公和，则其前项之和，是错误的.举例“等和数列”其，所以该命题是错误的.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解和应用，考查等差数列和等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题解析：【分析】由已知递推关系式，利用累加法和等差数列前项和公式，可求出通项，即可得.【详解】 ， ， ， ， ， ，
16、故答案为： 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.177254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254【分析】参数进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据求得的值可得答案.【详解】由题意，当时，因此是周期数列，周期为，所以，不合题意，当时，同理是周期数列，周期为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一
17、般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题18【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：【分析】有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立【详解】数列是正项数列，且所以，即 时两式相减得，所以
18、（ ）当时，适合上式，所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题1914【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析：14【分析】本题先求、，再求即可解题.【详解】解：因为数列是等差数列，所以，解得，所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法，是基础题.2012【分析】先取倒数得成等差数列再根据等差数列求和公式列式求得结果【详解】所以为以为首项为公差的等差数列故答案为：12【点睛】本题考查等差数列定义以及求和公式考查基本分析求解能力属基础题解析：12【分析】先取倒数得成等差数列，再
19、根据等差数列求和公式列式求得结果.【详解】所以为以为首项，为公差的等差数列，故答案为：12【点睛】本题考查等差数列定义以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21（1）证明见解析；（2）最大自然数.【分析】（1）根据题中条件，可得的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得，则可得，根据错位相减求和法，可求得的表达式，根据的单调性，代入数值，分析即可得答案.【详解】解：（1），即，是首项为，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，即，减得.，.单调递增.，.故使成立的最大自然数.【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的
20、方法有：公式法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法等，需熟练掌握.22答案见解析【分析】选：由等差数列通项公式得出通项后，解，满足此不等式的最大的使得最大，注意若，则有两个值使得最大，选：由等比数列前项和公式得出，由于公比是负数，因此按的奇偶性分类讨论求得的最大值；选：由累加法求得，利用的表达式是的二次函数形式，当时，确定不存在最大值.【详解】选因为，所以是首项为9，公差为的等差数列.所以.由，得，即所以存在最大值，且最大值为或，因为，所以的最大值为369.选因为，所以是首项为9，公比为的等比数列.所以.当为奇数时，因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；当为偶数的，且，综上，存在最大值，且
21、最大值为9.选因为，所以，所以，以上个等式相加得，因为，所以，又也满足上式，所以.当时，故不存在最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查数列前项和的最大值问题，一种方法是求出的表达式，由函数的性质确定的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，则满足的最大的使得最大23（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，解方程组可求的值，进而可得的通项公式（2），利用裂项求和即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知，解得，所以.（2） 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以
22、用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.24（1）；（2）.【分析】（1）根据可得，两式作差证明为等差数列，由此求解出的通项公式；（2）先根据求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行
23、求和，由此求解出.【详解】（1）因为，所以，所以两式作差有：，所以，且，所以，所以，所以是公差为的等差数列，且，所以或（舍），所以；（2）因为，所以，所以，所以，两式作差可得：，所以，所以.【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.25（1）选均有，；（2）【分析】（1）选，运用等比数列的通项公
24、式解方程可得公比，可得所求通项公式；选，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选，将换为，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和【详解】（1）选数列为递增的等比数列，且，设等比数列的公比为，则，解得舍去），所以；选数列满足，可得，数列是首项为，公比为2的等比数列，则，即为，当时，也满足上式，所以，；选（1），当时，（2），由（2）（1）可得，即，又因为，也满足上式，故数列为首项为2，公比为2的等比数列，所以，；（2）由（）可得，所以【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列
25、的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和26（1）条件性选择见解析，；（2）【分析】（1）选：由题意可得，再利用等比数列的公比为可求，进而可求数列的通项公式；选：，令可求，当时，可得，与已知条件两式相减可求得，进而可求数列的通项公式；选：，当时，当时，与已知条件两式相减可求得，检验也
26、满足，进而可求数列的通项公式；（2）由（1）知，则，利用乘公比错位相减即可求和.【详解】（1）选：因为，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以选：因为，当时，解得当时，所以即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列故选：因为，所以当时，当时，所以，当时，依然成立所以（2）由（1）知，则，所以， ， 得所以所以数列的前项和【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
