1、立体几何中的动态问题初探高考数学总复习微专题 立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模拟考与高考中频频出现，本文就高中范围内，常见轨迹产生的原理进行分析，给出立体几何中轨迹问题的两种常见的处理办法。例1 1 平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线 l与AB垂直，且交于点C,则动点C的轨迹是（）A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支立体几何中常见的轨迹问题A分析：直线l运动后形成的轨迹为线段AB的垂面，点C刚好落在平面与线段AB的垂面的交线上，所以动点C的轨迹是一条直线。点评：空间轨迹最简单的一种存在形式就是两个平面的交线，在处理问题中注意识别即可。如图，AB是平面的斜线段，A
2、为斜足，若点P在平面内 运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条直线例2 分析：考虑到三角形的面积为定值，可以得到P点在此圆柱面上。B 由于AB是平面的斜线段，故平面与圆柱面斜交,所以动点P的轨迹是椭圆。动动中中寻寻静静命题1 圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆。命题2 圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线。命题3 圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆。（一）平面截圆柱面所得的截线曲线理论的依据命题命题4 4 当截面与圆锥的轴垂直时，截面曲线为当截面与圆锥的轴垂直时，截面曲线为圆圆；当截面的焦点轴与圆锥；当截面的焦点
3、轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的同一叶时，截得的曲面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的同一叶时，截得的曲线为线为椭圆椭圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的不同叶中时，截面曲线为位于圆锥面的不同叶中时，截面曲线为双曲线双曲线；当截面的焦点轴与圆锥面；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线中的某一条平行时，截面曲线为的轴截面的两条母线中的某一条平行时，截面曲线为抛物线抛物线。（二）平面截圆锥面所得的截口曲线理论的依据平面截圆锥的的轨轨迹迹的的交交点点与与平平面面求求直直线线角
4、角成成且且与与经经过过点点动动直直线线外外的的一一个个定定点点面面是是平平内内的的一一条条定定直直线线是是平平面面设设引引申申QnmPnPm ,30,.:1双曲线 _,45),(,2:2所所形形成成的的轨轨迹迹为为则则点点所所成成角角为为与与直直线线若若直直线线包包括括圆圆周周圆圆柱柱的的下下底底面面在在动动点点对对角角线线的的交交点点为为正正方方形形形形的的正正方方是是边边长长为为圆圆柱柱的的轴轴截截面面引引申申PMPAMPABCDMABCDABCDMP抛物线的一部分 例3 3 如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，若四边形A A1 1BCDBC
5、D1 1内 一动点P到ABAB1 1和BCBC的距离相等，则点P的轨迹为（）A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 C.一条直线 D.抛物线一部分D点评：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法。立体几何中常见的轨迹问题定义由动点P到AB1和BC的距离相等分析：符合抛物线的定义。点P到AB1的距离=OP，由AB1 平面A1BCD1，连接OP到定点的距离与到定直线的距离相等 例4 4 已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线A A1 1D D1 1和CDCD的距离相等，则
6、动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线.PB点评：从本题，我们可以体会到“数缺形时少直观，形缺数时难入微”轨迹问题更是如此，从几何角度不好下手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好方法。立体几何中常见的轨迹问题坐标法如图，建立直角坐标系x-D-y,设P（x,y),则有化简可得：，即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线。122 yx本题从几何的角度很难找到突破口，我们可以尝试从代数的角度处理。.,2,:5的最远距离到原点求点若轴上移动平面和分别在的顶点正中空间直角坐标如图例OCABzxOyBAABCOxyz13 O在以AB为直径的球面
7、上运动 M.,)2(,)1(:,1,2,90,:10之间的最大距离之间的最大距离两点两点、求求合条件的运动合条件的运动该三角形作符该三角形作符中中在在垂足为垂足为平面平面直线直线如图如图引申引申OCBlABCABABCABCOl 21 lABOC 引申2:棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标系中移动,但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动,则点C1到原点O的最远距离为_OAB1D1Cxy4 ABC1A1B1C1D MM引申3:在空间直角坐标系中棱长为2的正四面体ABCD两个顶点A、B分别在x轴、y轴上移动,M是棱CD的中点,则点M到原点O的取值范围为_1,2,ONMNABN则则
8、的中点的中点为为设设O在以AB为直径的球面上运动 12,12 ABCDMN.,/,:6111111111的轨迹求动点平面的动点是侧面的中点棱是中正方体例FAEDFABCCBFCCEDCBAABCDABCDE1A1B1C1D线段线段FG立体几何中轨迹问题及其轨迹相关的度量问题的两种常见处理办法：方法提炼（1）几何法 借助曲线的定义或几何图形的特征进行识别轨迹类型的方法称之为几何法。使用几何法时，需要抓住几何不变量、关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义以及生成过程。常见的被截面有平面、圆柱面与圆锥面等。如两平面的交线为直线，平面截圆柱面所得截口曲线可以为圆或椭圆，平面截圆锥面所得截口曲线可以为圆、椭圆、抛物线、双曲线等，具体可以结合前面的命题进行识别。（2）代数法 建立坐标系，通过解析法，求出截口曲线的轨迹方程的方法称为代数法。使用代数法时，一般需要选择合适平面，建立平面直角坐标系，在截口曲线上任取点P(x,y)，依照题中的条件,建立方程并化简,得到方程f(x,y)=0(高中范围内，通常只涉及到两个变量的方程）,最后结合方程的特征识别轨迹的类型。【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系，但问题最终的方程一般只含有两个变量。在个别问题中，还需要注意纯粹性与完备性。
