1、第一章第一章 绪论绪论方法论部分方法论部分l 1.1宏观的数学方法论与微观的数学方法宏观的数学方法论与微观的数学方法论论 l 问题是数学的心脏；问题解决是数学教育问题是数学的心脏；问题解决是数学教育的核心。作为数学教育工作者，如何把握解决的核心。作为数学教育工作者，如何把握解决数学问题的钥匙，这是他必须关心的重要问题。数学问题的钥匙，这是他必须关心的重要问题。我国古代的思想家孔子就有我国古代的思想家孔子就有“工欲善其事，必先工欲善其事，必先利其器利其器”的说法。的说法。1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 当代最著名的数学教育家波利亚当代最著名的数学教
2、育家波利亚（G.Polya）强调指出：）强调指出：“中学教学的首要任务中学教学的首要任务就是加强解题训练。就是加强解题训练。”他还说过：他还说过：“掌握数学意掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。思路合理、见解独到和有发明创造的题。”1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具解题毕竟是一种复杂的智力劳动，但它是具有创造性特征的。有创造性特征的。对于解
3、决数学问题，特别对于解决数学问题，特别是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识是解决中学数学问题来说，依靠经验性的知识积累的状况是难以令人满意的，我们认为重要积累的状况是难以令人满意的，我们认为重要的是掌握数学思想方法。的是掌握数学思想方法。1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 1、什么是数学方法、什么是数学方法 l 实际上不同的人们对它有不同的理解。实际上不同的人们对它有不同的理解。l 在不同的场合中，人们是从两种既有区别在不同的场合中，人们是从两种既有区别又有密切联系的涵义来运用又有密切联系的涵义来运用“数学方法数学方法”这个词。这个词。l 一是徐利治
4、教授一是徐利治教授 在在数学方法论选讲数学方法论选讲中中认认为数学方法具有为数学方法具有“主要是研究和讨论数学的发展主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则明与创新等法则”的表征。的表征。l 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 二是年出版的二是年出版的中国大百科全书中国大百科全书中对数学方法给出了如下定义中对数学方法给出了如下定义“用数学语言表述用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和
5、预言的和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。方法。”l 对数学方法的不同理解反映了数学这一科对数学方法的不同理解反映了数学这一科学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学学门类应用广泛的特征。数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不同的关于的分类。量不同的关于的分类。l 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在人们的实际活动的各个层次上都需要用在人们的实际活动的各个层次上都需要用到数学方法，和这种层次相对应，数学方法也到数学方法，和这种层次相对应，数学方法也可以分为四个层次：可以分为四
6、个层次：（）（）数学发展和创新的方法；数学发展和创新的方法；（）运用数学理论研究和表述事物的内在联系（）运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法；和运动规律的方法；（）具有一般意义的数学解题的方法；（）具有一般意义的数学解题的方法；（）（）特殊的数学解题方法。特殊的数学解题方法。1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 徐利治教授在徐利治教授在数学方法论选讲数学方法论选讲中提出中提出了关于了关于“宏观的数学方法论宏观的数学方法论”与与“微观的数学方法微观的数学方法论论”的区别：关于数学发展规律的研究（如果撇的区别：关于数学发展规律的研究（如果撇
7、开数学内在因素不提）属于宏观的数学方法论，开数学内在因素不提）属于宏观的数学方法论，关于数学思想方法以及对数学中的发现、发明关于数学思想方法以及对数学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。l 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 2、什么是数学问题、什么是数学问题 l 数学是研究客观世界和空间形式的科学。数学是研究客观世界和空间形式的科学。当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾
8、时，就形成了数学问题。就形成了数学问题。l 以数学为内容，或者虽不以数学为内容，以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。问题称为数学问题。l 1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数学发展史就是一部数学问题解决的历史，而数学数学发展史就是一部数学问题解决的历史，而数学方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。方法的产生和发展也是和数学问题的解决紧紧相伴的。l 伟大的数学家伟大的数学家希尔伯特说过：希尔伯特说过：“只要一门科学分支只要一门科学分支能提出大量
9、的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 数学问题一般具有几个特性：数学问题一般具有几个特性：（1
10、 1）它包含着有关数学的疑问因素和未知方）它包含着有关数学的疑问因素和未知方面；面；（2 2）问题的出现表明主体的思维水平和当时）问题的出现表明主体的思维水平和当时的状况之间失去了平衡和协调，主体的数学思的状况之间失去了平衡和协调，主体的数学思维产生了隙缝和空缺；维产生了隙缝和空缺；（3 3）主体为填补一定的数学问题带来的隙缝）主体为填补一定的数学问题带来的隙缝和空缺，就引起紧张，激发思维活动的进行。和空缺，就引起紧张，激发思维活动的进行。1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在数学教学中，问题解决是一切活动的核在数学教学中，问题解决是一切活动的核心。
11、不同的是，在教学中所要解决的问题并不心。不同的是，在教学中所要解决的问题并不是那些尚未解决的数学科学问题，而是前人已是那些尚未解决的数学科学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。有的数学知识的再发现。l 在数学教学中，只有提出问题，让学生明在数学教学中，只有提出问题，让学生明了产生问题的情景，并留给学生必要的时间，了产生问题的情景，并留给学生必要的时间，才能引起学生有目的的思考。才能引起学生有目的的思考。1.1宏观的数学方法论宏观的数学方法论与微观的数学方法论与微观的数学方法论 l 在数学教学中，若能使学生把特定的数学在数学教学中，若能使学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使学生
12、问题确定为自己努力攻克的方向，才能使学生的思维活动以一定的方法、在一定的范围内进的思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击其头行，才能激发学生的创造热情，不断冲击其头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构，脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构，最后引起自身行为的改变最后引起自身行为的改变数学学习。数学学习。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特说：希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助
13、于理解已有系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”通过一些数学史料的学习，使我们明了数学通过一些数学史料的学习，使我们明了数学上上的发现、发明主要是方法上的创新。的发现、发明主要是方法上的创新。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 有了方法才获得了有了方法才获得了“钥匙钥匙”，数学的发展绝，数学的发展绝不仅仅是材料，事实，知识的积累和增加，而不仅仅是材料，事实，知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才必须有新的思想方法的参与，才会有创新，才会有发现和发明。因此，从宏观
14、意义上来说，会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力，也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的认识，显然可以帮助我们去努力创造有利于数认识，显然可以帮助我们去努力创造有利于数学发展的良好环境。学发展的良好环境。l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 从数学的教学工作而言，数学方法论事实从数学的教学工作而言，数学方法论事实上是对我们的数学教师提出了更高的要求，即上是对我们的数学教师提出了更高的要求，即我们不仅应当注意具体的数学知识的传授，而我们
15、不仅应当注意具体的数学知识的传授，而且也应注意数学方法论方面的训练和培养。且也应注意数学方法论方面的训练和培养。l 只有注意数学思想方法的分析，我们才能只有注意数学思想方法的分析，我们才能把数学课讲活，讲懂，讲深。把数学课讲活，讲懂，讲深。l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 所谓所谓“讲活讲活”就是让学生看到活生生的数学研究工作，就是让学生看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识而不是死的数学知识。l 所谓所谓“讲懂讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背而不是囫囵吞枣、死记硬背。l 所谓所谓“
16、讲深讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。知识，而且也能领会内在的思想方法。l 总之，学习和研究数学方法论将对提高数学教学质量、总之，学习和研究数学方法论将对提高数学教学质量、提高教师的数学教学学术水平起到积极的作用。提高教师的数学教学学术水平起到积极的作用。l l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 从更为基本的意义上说，数学学习不仅仅从更为基本的意义上说，数学学习不仅仅是指具体的数学知识的学习，而且也是指数学是指具体的数学知识的学习，而且也是指数学方法的学习。应充分肯定对数学方法论的研究方
17、法的学习。应充分肯定对数学方法论的研究对数学学习者的重要意义。对数学学习者的重要意义。l 数学的思想方法是处理数学问题数学的思想方法是处理数学问题或实际问或实际问题题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。学学习和研究数学方法论，能帮助人们真正认识数习和研究数学方法论，能帮助人们真正认识数学科学的价值。学科学的价值。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 l 数学作为一种科学语言及工具，将同语言、数学作为一种科学语言及工具，将同语言、宗教和艺术一样，是人类文化影响全局的部分宗教和艺术一样，是人类文化影响全局的部分。l 数学在自然科学、社
18、会科学、行为科学等数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用，使得现代科学的任何部分几方面的广泛应用，使得现代科学的任何部分几乎都已带上了抹不掉的数学印记乎都已带上了抹不掉的数学印记。l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 l 数学文化作为当代文化的重要组成部分，数学文化作为当代文化的重要组成部分，其其思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观念和文化，数学的精神和态度，它使的数学观念和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷、表达清楚、工作有条理；使人善人思维敏捷、表达清楚、工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事
19、求是，锲而不舍；使于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍；使人得到文化方面的修养，从而更好地理解、领人得到文化方面的修养，从而更好地理解、领略和创造现代社会的文明略和创造现代社会的文明；数学的思想方法对；数学的思想方法对提高人的整体素质和文化修养有着重要意义。提高人的整体素质和文化修养有着重要意义。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一有关数学方法的研究，特别是早期研究中，存在一个明显的特点是，企图找到这样一种个明显的特点是，企图找到这样一种“万能的方法万能的方法”，以，以便一劳永逸地解决一切数学问题，或者使科学的发明创便
20、一劳永逸地解决一切数学问题，或者使科学的发明创造可以循规蹈矩地进行。造可以循规蹈矩地进行。笛卡儿在它未完成的著笛卡儿在它未完成的著作作思维的法则思维的法则里，设计了一种能解各种问题的万能里，设计了一种能解各种问题的万能方法，即方法，即 首先，把任何问题化为数学问题；首先，把任何问题化为数学问题；其次，把任何数学问题化为一个代数问题；其次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 1922年，年，希尔伯特也提出了他的证明论（或希尔伯特也提出了他的证明论（或称
21、元数学），试图找到一种方法绝对的证明数称元数学），试图找到一种方法绝对的证明数学理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔学理论的无矛盾性，这一想法被人们称为希尔伯特规划。这一规划的内容包括：伯特规划。这一规划的内容包括：（1 1）把数学理论公理化，把所得的公理化理把数学理论公理化，把所得的公理化理论和所论和所用的逻辑彻底地形式化，从而组成形式系统；用的逻辑彻底地形式化，从而组成形式系统；（2 2）用有穷方法证明这一系统的无矛盾性。）用有穷方法证明这一系统的无矛盾性。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 希尔伯特曾经满怀信心地认为：那种用自希尔伯特曾经满怀信心地认为：
22、那种用自然语言来表述的具有内容的数学知识在内容上然语言来表述的具有内容的数学知识在内容上的推理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形的推理可以为由数学和逻辑的符号所组成的形式系统的规划所代替。式系统的规划所代替。历史的发展告诉我历史的发展告诉我们，们，笛卡儿的万能方法和笛卡儿的万能方法和希尔伯特规划希尔伯特规划都被证都被证明是行不同的。但它们仍不失为一个伟大的设明是行不同的。但它们仍不失为一个伟大的设想，因为不论是笛卡儿的万能方法还是想，因为不论是笛卡儿的万能方法还是希尔伯希尔伯特规划，都确实存在深刻的道理。特规划，都确实存在深刻的道理。l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意
23、义和目的l 人们意识到，研究数学方法的任务，不是人们意识到，研究数学方法的任务，不是去发现那种去发现那种一劳永逸地解决一切数学问题的万一劳永逸地解决一切数学问题的万能方法，而是通过活生生的解决数学问题的经能方法，而是通过活生生的解决数学问题的经验，使人们正确地认识数学，有效地运用数学，验，使人们正确地认识数学，有效地运用数学，并且创造性地发展数学。并且创造性地发展数学。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎当人们从发明万能方法的梦幻中醒悟之后，又是怎样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析到：样对待数学方法的研究呢？郑毓信分析
24、到：“就现代而就现代而言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主言，人们在这一方面的研究工作，却又受到逻辑实证主义这一义这一20世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思世纪上半叶在西方学术占据主导地位的哲学思想的极大影响。想的极大影响。”“逻辑实证主义者明确地提出了发现与逻辑实证主义者明确地提出了发现与检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论的检验（证明）的区分，并认为科学哲学与科学方法论的研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属于研究应当局限于检验的范围，而发现问题则完全从属于心理学的研究范围心理学的研究范围对此不需要，也不可能作出逻辑对此不需要，也不可能作出逻辑的分析，从
25、而，也就不存在任何意义的发现方法。的分析，从而，也就不存在任何意义的发现方法。”1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 于是，于是，“人们事实上就从一个极端走向了另一个极人们事实上就从一个极端走向了另一个极端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际端，即由对万能方法的追求而转向对数学方法论的实际否定。否定。”l 20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著怎样解题怎样解题（1944）、）、数学与猜想数学与猜想（1954）、）、数学的发现数学的发现（1961）的出版为契机，一股重视数学）的出版为契机，一股重视数学方法和数学解题
26、的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以方法和数学解题的潮流又悄然兴起。人们以波利亚的以下论述作为指南：下论述作为指南：“合理的探索法不能以万灵规律为目合理的探索法不能以万灵规律为目标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种标，但它可以努力研究在解题中典型有用的做法。这种做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过做法是每一个对他的问题很感兴趣的正常人所经验过的。的。”l 1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 1980年，美国全国数学教师协会（年，美国全国数学教师协会（NCTM）在第四届国际数学教育大会（在第四届国际数学教育大会（ICME-4）上提出：）上提出：
27、“问题解决是问题解决是80年代学校数学教育的核心。年代学校数学教育的核心。”这这一口号提出至今，一直被人们广泛接受，直到一口号提出至今，一直被人们广泛接受，直到现在，现在，“问题解决问题解决”依然是数学教育的中心课题，依然是数学教育的中心课题，这说明在数学教育中重视数学方法和解题研究这说明在数学教育中重视数学方法和解题研究乃是符合时代潮流的历史必然。乃是符合时代潮流的历史必然。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l “问题解决问题解决”是在科学技术迅猛发展、知识量是在科学技术迅猛发展、知识量急剧增长的时代，以提高能力为教学的主要目急剧增长的时代，以提高能力为教学的主
28、要目标的背景下提出来的。标的背景下提出来的。l 当代学校教育能为学生今后的生活和工作当代学校教育能为学生今后的生活和工作所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，所做的准备主要有两个方面，一是科学知识，一是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，一是科学方法，这两者的有机结合便形成能力，与一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移与一般知识相比，科学方法具有更广泛的迁移作用，其有效性更长些，因此在当代的学校教作用，其有效性更长些，因此在当代的学校教育中，科学方法的作用被提到更重要的地位上育中，科学方法的作用被提到更重要的地位上来。来。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的 对
29、于对于“问题解决问题解决”，各国研究工作的注意点是：，各国研究工作的注意点是：（1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境；境；（2）寻求好的问题，从学生迫切追求的愿望，）寻求好的问题，从学生迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的地位；将学生置于一种主动参与的地位；（3）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解提策略；）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解提策略；（4）讨论各种成功的策略，如果可能的话，和以前的）讨论各种成功的策略，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。1.21.2研究数
30、学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 数学方法和解题研究的现代复兴的又一标数学方法和解题研究的现代复兴的又一标志是，志是，20世纪世纪70年代以来，数学建模已成为国年代以来，数学建模已成为国际上的热点。际上的热点。近半个世纪以来，计算机科近半个世纪以来，计算机科学技术的迅猛发展，在某种意义上说，计算机学技术的迅猛发展，在某种意义上说，计算机各种应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建各种应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建模就发展成为一个与多种学科相互作用的新的模就发展成为一个与多种学科相互作用的新的数学领域。数学领域。1.21.2研究数学方法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l
31、 数学建模是实际问题数学化的产物，它是数学建模是实际问题数学化的产物，它是一种解决问题的强有力的数学方法。一种解决问题的强有力的数学方法。数学数学建模的迅速发展使得数学不再被局限于作为一建模的迅速发展使得数学不再被局限于作为一门基础科学的范围之内，在计算机的辅助下，门基础科学的范围之内，在计算机的辅助下，数学已成为解决问题的一种技术。美国爱克逊数学已成为解决问题的一种技术。美国爱克逊研究和发展部总裁戴维（研究和发展部总裁戴维（E.E.David）曾说）曾说过过:“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。是一种数学技术。”1.21.2研究数学方
32、法论的意义和目的研究数学方法论的意义和目的l 在数学教育中，对数学建模方法的研究，在数学教育中，对数学建模方法的研究，以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模以及在大学、高中、初中怎样开设好数学建模课程也成为当今数学教育改革的重要方向。课程也成为当今数学教育改革的重要方向。我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方我们可以说，对数学建模的重视的确是数学方法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现象。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 数学方法起源于实践活动，它是伴随数学数学方法起源于实践活动，它是伴随数学问题的解决
33、而产生的。人类解决数学问题的实问题的解决而产生的。人类解决数学问题的实践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；二是科学研究，特别是数学研究的实践。二是科学研究，特别是数学研究的实践。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 由于生产实践、社会实践和数学发展本身由于生产实践、社会实践和数学发展本身的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学问题或是一个个地被解决，或是因无裨益而被问题或是一个个地被解决，或是因无裨益而被弃置并代之以新的问题。在解决这些层出不穷弃置并代之以新的问题。在解
34、决这些层出不穷的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。诞生了。l 考察数学问题的源泉，在每个数学分支中，考察数学问题的源泉，在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是那些最初、最老的问题肯定是起源于经验，是由外部世界所提出的。由外部世界所提出的。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 公元前公元前30003000年的埃及尼罗河流域，美索不年的埃及尼罗河流域，美索不达米亚的底格里斯河等流域，以及稍晚一些的达米亚的底格里斯河等流域，以及稍晚一些的中国黄河流域、印度恒河流域，原始阶段都已中国黄河流
35、域、印度恒河流域，原始阶段都已结束，在这些大河流域文明中，整数运算法则结束，在这些大河流域文明中，整数运算法则在人们的生产实践和彼此的交往中都已经被发在人们的生产实践和彼此的交往中都已经被发现现。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系统，排水设施以及管理的需要，测量耕地，计算收获物，统，排水设施以及管理的需要，测量耕地，计算收获物，征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体，确定季节的征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体，确定季节的需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等
36、就被提了需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等就被提了出来。出来。l 巴比仑人可能是在天文观察、土地丈量和贸易中形巴比仑人可能是在天文观察、土地丈量和贸易中形成了位值观念和六十进制数系，为了计算快速、方便，成了位值观念和六十进制数系，为了计算快速、方便，他们制作大量数表，其中包括倒数表、平方表、平方根他们制作大量数表，其中包括倒数表、平方表、平方根表和立方表，形成了用表格进行数学计算的相当先进的表和立方表，形成了用表格进行数学计算的相当先进的数学方法。数学方法。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 如目前保存在英国大不列颠博物馆的如目前保存在英国大不
37、列颠博物馆的BMB901BMB901号泥板，号泥板，就记载着就记载着2424个数学问题，其中有解一元二次方程的问题，个数学问题，其中有解一元二次方程的问题，从这里我们可以看到人类最早的数学模型方法思想的萌从这里我们可以看到人类最早的数学模型方法思想的萌芽。芽。l 早在公元前早在公元前5 5世纪，希腊人已经形成了三个几何作图世纪，希腊人已经形成了三个几何作图问题，被称为几何三大问题：（问题，被称为几何三大问题：（1 1）倍立方问题，求作）倍立方问题，求作一立方体，使它的体积等于一已知立方体；（一立方体，使它的体积等于一已知立方体；（2 2）三等）三等分角问题，求三等分一已知角；（分角问题，求三等
38、分一已知角；（3 3）化园为方问题，）化园为方问题，求作一正方形，使它的面积等于一已知园的面积。求作一正方形，使它的面积等于一已知园的面积。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 集古代数学问题之大成的，要数成书于公元集古代数学问题之大成的，要数成书于公元1 1世纪前后的我国辉煌的数学文献世纪前后的我国辉煌的数学文献九章算术九章算术，九章算术九章算术中收集了方田（各种形状的田地中收集了方田（各种形状的田地面积计算）面积计算）、粟米（各种粮食谷物间的按比例粟米（各种粮食谷物间的按比例交换）、商功（体积计算）、均输（按比例摊交换）、商功（体积计算）、均输（按
39、比例摊派赋税和徭投）、盈不足（根据两次假设产生派赋税和徭投）、盈不足（根据两次假设产生过剩或不足来求解的问题）、方程（求解一次过剩或不足来求解的问题）、方程（求解一次方程组）、方程组）、勾勾股（有关勾股测量的各种问题）股（有关勾股测量的各种问题）共九章计共九章计246246个问题，几乎包括了当时社会生活个问题，几乎包括了当时社会生活的各个方面。的各个方面。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 九章算术九章算术中的数学问题包括中的数学问题包括“题题”、“答答”和和“术术”三个部分。所谓三个部分。所谓“术术”即是解即是解决数学问题的数学方法，它常常包含着解
40、决数决数学问题的数学方法，它常常包含着解决数学问题所应用的公式，定理或原理的叙述。处学问题所应用的公式，定理或原理的叙述。处理方法上有一题一术，一题多术与多题一术的理方法上有一题一术，一题多术与多题一术的不同，通过不同，通过246246个数学问题共介绍个数学问题共介绍202202个术，可个术，可以说以说九九章章算术算术的全部理论是以寻求各种应的全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解决为中心课题。用问题的普遍解决为中心课题。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 九章算术九章算术是我国古代传统数学中影响最是我国古代传统数学中影响最深远的一部著作，从中我们可以
41、看到我国古代深远的一部著作，从中我们可以看到我国古代数学，是怎样从实际生活中分析出数量关系，数学，是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳问题而得到解决问题的入手，通过抽象与归纳问题而得到解决问题的数学方法。数学方法。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 古希腊欧几里得几何所追求的是逻辑的完美。古希腊欧几里得几何所追求的是逻辑的完美。成书于公元前成书于公元前300300年的欧几里得年的欧几里得几何几何原本原本实实际上总结了公元前际上总结了公元前600600年
42、前到公元前年前到公元前300300年间流年间流行在希腊帝国的很多几何学方面的成果。行在希腊帝国的很多几何学方面的成果。几几何何原本原本是一部在定义、公设和公理基础上按是一部在定义、公设和公理基础上按演绎方法建立起来的命题系统，它包含演绎方法建立起来的命题系统，它包含2323个预个预备性定义，备性定义，5 5个公设，个公设，5 5条公理和条公理和465465个命题。个命题。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 欧几里得欧几里得原本原本的出现，标志着一种重的出现，标志着一种重要的数学方法要的数学方法公理化方法的形成，公理化方法的形成，20002000多多年
43、来，公理化方法对整个数学的发展乃至物理年来，公理化方法对整个数学的发展乃至物理学，现代理论力学及各门自然科学的发展都带学，现代理论力学及各门自然科学的发展都带来深远的影响。人们通过欧几里得几何的学习，来深远的影响。人们通过欧几里得几何的学习，受到了公理化方法的训练，从而迈入科学的殿受到了公理化方法的训练，从而迈入科学的殿堂。堂。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 爱因斯坦就说过：爱因斯坦就说过：“世界第一次目睹了一个世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题都是
44、绝对不步一步推进，以至它的每一个命题都是绝对不容置疑的容置疑的我这里说的是欧几里得几何。推我这里说的是欧几里得几何。推论的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了论的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。为取得以后的成就所必需的信心。”1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 1717世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢的状态，这一的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩数，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法进入了数学。证法进入了
45、数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的（恩格斯语）在笛卡尔的解析几何中解析几何中“曲线是任何具体代数方程的轨曲线是任何具体代数方程的轨迹迹”，这不仅一下子扩充了数学的范围，而且，这不仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运用到几何乃至整个数学铺平了道为代数方法运用到几何乃至整个数学铺平了道路。路。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 16371637年，笛卡尔的解析几何作为年，笛卡尔的解析几何作为“附录附录”发表在他的哲学著作发表在他的哲学著作方法谈方法谈之中，这对笛之中，这对笛卡尔来说并非是一种偶然的安排，因为在他看卡尔来说并非是一种偶然的安排，因为在他看
46、来，解析几何与其说是数学研究的新成果，还来，解析几何与其说是数学研究的新成果，还不如说是科学方法论的产物。不如说是科学方法论的产物。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 数学的发展一方面是由于对生产和社会生数学的发展一方面是由于对生产和社会生活中所提出的数学问题的研究和解决，如航海、活中所提出的数学问题的研究和解决，如航海、机械、力学、天文学的发展，促使牛顿在考察机械、力学、天文学的发展，促使牛顿在考察变速运动中的位置、速度、加速度的关系而创变速运动中的位置、速度、加速度的关系而创立微积分，从而导致函数研究中极限方法的完立微积分，从而导致函数研究中极
47、限方法的完善善。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 从研究博奕问题开始，经历了两个世纪，从研究博奕问题开始，经历了两个世纪，雅各布雅各布伯努利终于将概率论发展成为数学的一伯努利终于将概率论发展成为数学的一个分支，为自然科学和社会科学的研究提供了个分支，为自然科学和社会科学的研究提供了全新的或然方法全新的或然方法。l 泰勒、丹尼尔泰勒、丹尼尔伯努利、欧拉等对声学、尤伯努利、欧拉等对声学、尤其是对音乐乐声的弦振动、声音传播问题的研其是对音乐乐声的弦振动、声音传播问题的研究，极大地刺激了微分方程的发展，至今微分究，极大地刺激了微分方程的发展，至今微分方程反
48、过来又成为研究孤立等重大物理现象的方程反过来又成为研究孤立等重大物理现象的工具。工具。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 由于数学发展内部矛盾运动中提出的问题由于数学发展内部矛盾运动中提出的问题的研究和解决，更发展了抽象的数学方法，使的研究和解决，更发展了抽象的数学方法，使数学成为脱离现实世界的高度抽象的形式化的数学成为脱离现实世界的高度抽象的形式化的事物，其中典型的例子是，伽罗瓦（事物，其中典型的例子是，伽罗瓦（E.GaloisE.Galois）关于代数方程可解性的研究，引进了群和域的关于代数方程可解性的研究，引进了群和域的概念，进一步导致抽象代
49、数的建立概念，进一步导致抽象代数的建立。l 关于欧几里得关于欧几里得几何几何原本原本第五公设的独第五公设的独立性立性的的研究，罗巴切夫斯基、黎曼相继建立了研究，罗巴切夫斯基、黎曼相继建立了不同的非欧几何理论不同的非欧几何理论。1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生 l 关于复数运算的研究，导致关于复数运算的研究，导致18431843年哈密尔年哈密尔顿建立四元数代数，进一步发展为超复数理论。顿建立四元数代数，进一步发展为超复数理论。l 希尔伯特说：希尔伯特说：“数学中每一步真正的进展都数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法和发现密切联与更有力的
50、工具和更简单的方法和发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”1.31.3数学方法伴随数学问题数学方法伴随数学问题的解决而产生的解决而产生l 在人们探索的众多的数学问题中，在人们探索的众多的数学问题中，一个著名的例子是费马定理：一个著名的例子是费马定理：nnnzyx方程方程对于不等于零的对于不等于零的正整数正整数zyx、，当，当3nNn，时无解。时无解。l 300多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。在寻求这个问题的结论的证明过程中，涉
