1、首页上页下页末页首页上页下页末页首页上页下页末页考纲解读1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义考向预测1充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点2多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属中、低档题目首页上页下页末页首页上页下页末页知识梳理1命题的概念可以，用文字或符号表述的语句叫作命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题判断真假若q，则p若綈 p，则綈 q若綈
2、q，则綈 p首页上页下页末页(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系首页上页下页末页3充分条件与必要条件(1)如 果 p q，则 p 是 q 的 充 分 条 件，q 是 p的 (2)如果pq，qp，则p是q的4特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论必要条件充要条件首页上页下页末页基础自测1(2010江西文)对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析本题考
3、查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，ac2bc2ab(已认可c20)成立，而ab/ac2bc2，c0，不适合，故选B.首页上页下页末页2(2010天津理)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案B解析“若p则q”的否命题为“若p则q”，故选B.首页上页下页末页3(2011银川模拟)关于命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是()A都
4、真 B都假C否命题真 D逆否命题真答案D首页上页下页末页解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断对于原命题：“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题，故选D.首页上页下页末页A充分非必要条件 B必要非充分条件C非充分非必要条件 D充要条件答案A首页上页下页末页首页上页下页末页6设有如下三个命题：甲：mlA，m，l，m，l；乙：直线m，l中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲
5、成立时，乙是丙的_条件答案充要解析由题意乙丙，丙乙故当甲成立时乙是丙的充要条件首页上页下页末页7(2011济南高二期末)判断命题“若m0，则x2xm0有实数根”的逆否命题的真假解析m0，4m0，4m10.方程x2xm0的判别式4m10，因而方程x2xm0有实数根，原命题“若m0，则x2xm0有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则x2xm0有实数根”的逆否命题为真首页上页下页末页首页上页下页末页例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题(1)正三角形的三内角相等；(2)全等三角形的面积相等；(3)已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则
6、acbd.分析先找出原命题的条件p和结论q，然后根据四种命题之间的关系直接写出首页上页下页末页解析(1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形)否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形)首页上页下页末页(2)原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等”逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)否命题：若两个三角
7、形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等首页上页下页末页(3)原命题即是“已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则acbd”其中“已知a，b，c，d是实数”是大前提，“a与b，c与d都相等”是条件p，“acbd”是结论q，所以逆命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab，cd.否命题：已知a，b，c，d是实数，若ab或cd，则acbd.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若acbd，则ab或cd.首页上页下页末页点评已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条
8、件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题逆命题：“若q，则p”；否命题：“若綈 p，则綈 q”；逆否命题：“若綈 q，则綈 p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动首页上页下页末页分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若q1，则方程x22xq0有实根；(2)设a、b为实数，若ab0，则a0或b0；(3)若x2y20，则x、y全为零解析(1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，逆命题为真命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，否命题为真命题逆否命题：若x22xq0无实根，则q1，逆否命题为真命题首页上页下页
9、末页(2)逆命题：若a0或b0，则ab0，逆命题为真命题否命题：若ab0，则a0且b0，否命题为真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0，逆否命题为真命题(3)逆命题：若x、y全为零，则x2y20，逆命题为真命题否命题：若x2y20，则x、y不全为零，否命题为真命题逆否命题：若x、y不全为零，则x2y20，逆否命题为真命题首页上页下页末页点评命题真假判断的常用方法：方法内容直接法先写出命题，分清条件与结论直接判断间接法判断命题的等价命题的真假(当命题以否定形式给出时常用此法)首页上页下页末页例2指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：ab2，q：直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切；
10、(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设l，m均为直线，为平面，其中l，m，p：l，q：lm；首页上页下页末页故p是q的充分不必要条件(2)若|x|x，则x2xx2|x|0成立；反之，若x2x0，即x(x1)0，则x0或x1.当x1时，|x|xx，因此，p是q的充分不必要条件(3)l lm，但lml，p是q的必要不充分条件首页上页下页末页首页上页下页末页点评充分条件与必要条件的判断方法有：1利用定义判断(1)若pq，则p是q的充分条件；(2)若qp，则p是q的必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq且q p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p q且qp，则p是q的必要
11、不充分条件；(6)若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件首页上页下页末页2利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若A B，且A B，则p是q的既不充分也不必要条件首页上页下页末页(1)(2010陕西文)“a0”是“|a|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析本题考查充要条件的概念a0|a|0，但|a|0 a0，故“a0”是“|a|0”的充分不必要条件首页上页下页末页(2
12、)(2011温州一模)已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念由acbd变形为abcd，因为cd，所以cd0，所以ab0，即ab，acbdab.而ab并不能推出acbd.所以ab是acbd的必要而不充分条件故选B.首页上页下页末页例3求证关于x的方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是a1.分析需证明充分性和必要性证充分性时，可分a0，a0和0a1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.首页上页下页末页当00，所以x1、
13、x2同号又因为x1x2m2，所以x1、x2同为负根(2)必要性：因为x2mx10的两个实根x1、x2均为负，且x1x21，首页上页下页末页首页上页下页末页例4设命题p：(4x3)21；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围分析(1)用集合的观点考查问题，先写出p和q，然后，由qp，但p q来求m的取值范围；(2)将p是q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解解析设Ax|(4x3)21，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，首页上页下页末页首页上页下页末页点评在涉及求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑若涉及参
14、数问题解决起来较为困难时，注意运用等价转化，转化后就比较好理解了首页上页下页末页已知p：Ax|xa|0，且非p是q的充分条件，则a的取值范围为()A1a6 B1a6Ca6 Da1或a6答案B解析解法1：特殊值法验证，首页上页下页末页解法2：集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，解法3：用等价命题构建不等式组求解，p是q的充分条件等价命题为q是p的充分条件，集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，A(a4，a4)，B(2,3)，由q是p的充分条件知.首页上页下页末页例5已知abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.分析由题设可知
15、a，b，c“地位”相同，要解决的问题是a，b，c都是正数，故可采用反证法解析假设a，b，c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc0，不妨假设a0，则bca0，a(bc)0，a(bc)0.首页上页下页末页又bc0，bca(bc)0.即abbcca0矛盾，所以假设不成立，故a0，b0，c0成立点评(1)正难则反是解决数学问题的重要的解题策略，利用这种策略往往能达到化繁为简，化难为易的目的(2)反证法证明命题的一般步骤是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确首页上页下页末页已知函数yf(x)在(，)上是
16、增函数，a，bR，写出命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”的逆命题，并判断其真假，若写出的是真命题，给出证明；若写出的命题是假命题，给出反例解析命题的逆命题是：已知函数yf(x)在R上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，此命题是真命题下面用反证法证明此命题假设ab0，则ab，ba.首页上页下页末页f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，这与已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾从而假设是错误的，故应有ab0.首页上页下页末页首页上页下页末页1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大
17、前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3对“四种命题”的理解由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”要注意：否命题与命题的否定是不同的首页上页下页末页4“充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念，它讨论“若p则q”的命题中的条件和结论的逻辑关系因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题5由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化应用该命题的逆否命题进行判断6判断命题充要条件的三种方法是：定义法首页上页下页末页等价法：即利用AB与綈 B綈 A；BA与綈 A綈 B；AB与綈 B綈 A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法；利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件
