1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式 一、问题的提出一、问题的提出 二、二、Pn和和Rn的确定的确定 三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 四、简单应用四、简单应用 五、小结五、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、问题的提出1.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续,则有则有2.2.设设)(xf在在0 x处可导处可导,则有则有例如例如,当当x很小时很小时,xex 1,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfx
2、f)()()(000 xxxfxfxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶导数阶导数,)(xP为多项式函数为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfx
3、Rnn 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、二、nP和和nR的确定的确定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回假设假设 nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!
4、10)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 通过计算通过计算nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶的导数阶的导数,)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()(nnnx
5、xnfxR(在0 x与与x之间之间).则则当当x在在),(ba内时内时,)(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明:由假设由假设,)(xRn在在),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶阶导数导数,且且两函数两函数)(xRn及及10)(nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件,得得)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()
6、(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回如此下去如此下去,经过经过)1(n次后次后,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn (之之间间与与在在nx 0,也在也在0 x与与x之间之间)()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定理的条件,得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 nkkknxxkx
7、fxP000)()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 次近似多项式次近似多项式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 阶泰勒公式阶泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nkn
8、kkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意注意:1.1.当当0 n时时,泰勒公式变成拉氏中值公式泰勒公式变成拉氏中值公式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x,在在0与与x之间之间,令令)10(x 则余项则余项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)(!)0(!2)0()0()0()()
9、(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、简单的应用例例 1 1 求求xexf)(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由公式可知由公式可知!
10、212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上页上页下页下
11、页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 2 2 计算计算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin 播放播放五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回播放播放2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回
12、返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思思考考题题解解答答)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx .31 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)(的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 .二、二、求函数求函数xxexf)(的的n阶麦克劳林公式阶麦克
13、劳林公式.三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01.四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差.五、五、利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、)1()1()1(112nxxxx )1,0()1(1)1()1(
14、211 nnnxx.二、二、)!1(!232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn.三、三、645.1 e.四、四、5331088.1,10724.330 R.五、五、1 1、121.2.2、21.练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin 五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin!33xxy o五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下页返回返回上页
15、上页下页下页返回返回xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;上页上页下页下
16、页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公
17、式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上
18、页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.
