1、专题三专题三 立体几何与空间向量立体几何与空间向量考情概览考情概览年份年份题型题型题号题号分值分值题涉考点题涉考点难度难度20182018选择题选择题3 34 4分分几何体三视图与直观图几何体三视图与直观图易易选择题选择题8 84 4分分空间角空间角中中解答题解答题19191515分分线面垂直、线面角线面垂直、线面角中中20172017选择题选择题3 34 4分分几何体三视图与直观图、体积公式几何体三视图与直观图、体积公式易易选择题选择题9 94 4分分二面角的平面角二面角的平面角中中解答题解答题19191515分分线面平行的判定、线面角的求法线面平行的判定、线面角的求法中中20162016选
2、择题选择题2 25 5分分点、线、面位置关系的判定点、线、面位置关系的判定易易填空题填空题11116 6分分几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积易易填空题填空题14146 6分分几何体的体积问题、折叠问题几何体的体积问题、折叠问题中中解答题解答题17171515分分线面垂直问题、二面角问题、空间线面垂直问题、二面角问题、空间直角坐标系直角坐标系中中20152015选择题选择题2 25 5分分几何体的体积几何体的体积易易选择题选择题8 85 5分分折叠问题、二面角的定义折叠问题、二面角的定义中中填空题填空题13134 4分分三棱锥内异面直线所成角三棱锥内异面直线所成角中中解答题解答题1717
3、1515分分线面垂直的判定、二面角的求法、线面垂直的判定、二面角的求法、空间直角坐标系空间直角坐标系中中20142014选择题选择题3 35 5分分三视图三视图,几何体的表面积几何体的表面积易易填空题填空题17174 4分分立体几何的实际应用、线面角的最立体几何的实际应用、线面角的最大值大值中中解答题解答题20201515分分线面垂直的判定、二面角的求法、线面垂直的判定、二面角的求法、空间直角坐标系空间直角坐标系中中说明说明20162016年以前文理科题序相同时没有特别标注年以前文理科题序相同时没有特别标注,题序不同时进行标注题序不同时进行标注,文理只是考查难度不同文理只是考查难度不同,涉及知
4、识点基本一致涉及知识点基本一致第第1 1讲空间几何体的三视图、表面积与体积讲空间几何体的三视图、表面积与体积核心整合核心整合1.1.空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征(1)(1)多面体多面体棱柱棱柱:侧棱都平行且相等侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形上、下底面是全等的多边形.棱锥棱锥:底面是任意多边形底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形侧面是有一个公共顶点的三角形.棱台棱台:由平行于底面的平面截棱锥得到由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似的多边形其上、下底面是相似的多边形.(2)(2)旋转体旋转体圆柱圆柱:由一个矩形绕其一边所在直线旋转得到的几何图形由一个矩
5、形绕其一边所在直线旋转得到的几何图形.圆锥圆锥:由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的几何图形由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的几何图形.圆台圆台:由直角梯形绕其直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底面中点连线由直角梯形绕其直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底面中点连线所在直线旋转一周所在直线旋转一周,也可由平行于底面的平面截圆锥得到的几何图形也可由平行于底面的平面截圆锥得到的几何图形.球球:由半圆由半圆(或圆或圆)绕直径旋转一周绕直径旋转一周(或或180180)得到的几何图形得到的几何图形.【归纳拓展归纳拓展】(1)(1)正棱锥正棱锥:底面是正多边形底面是正多边形,顶点在底面的射影
6、是底面的中心顶点在底面的射影是底面的中心.(2)(2)正四面体正四面体:各条棱均相等的三棱锥为正四面体各条棱均相等的三棱锥为正四面体,其特点是所有面均为正三其特点是所有面均为正三角形角形.2.2.三视图与直观图三视图与直观图(1)(1)三视图三视图三视图包括正视图、侧视图、俯视图三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别从几何体的前方、左方、上方观察分别从几何体的前方、左方、上方观察几何体的轮廓所得几何体的轮廓所得.(2)(2)直观图直观图几何体的直观图常用斜二测画法几何体的直观图常用斜二测画法,即原图形中的即原图形中的x x轴与轴与y y轴在直观图中成轴在直观图中成4545度角度角.【归纳拓展归
7、纳拓展】(1)(1)三视图下的三个视图要求长对正三视图下的三个视图要求长对正,高平齐高平齐,宽相等宽相等.(2)(2)原图形中平行于坐标轴的线在直观图中还是平行于坐标轴原图形中平行于坐标轴的线在直观图中还是平行于坐标轴,原图形中平行原图形中平行于于x x轴的线段在直观图中长度不变轴的线段在直观图中长度不变,平行于平行于y y轴的线段在直观图中长度是原来的轴的线段在直观图中长度是原来的一半一半.3.3.表面积和体积表面积和体积(1)(1)多面体的表面积和体积公式多面体的表面积和体积公式表中表中S S表示面积表示面积,c,c,c,c分别表示上、下底面周长分别表示上、下底面周长,h,h表示高表示高,
8、h,h表示斜高表示斜高,l,l表表示侧棱长示侧棱长.(2)(2)旋转体的表面积和体积公式旋转体的表面积和体积公式表中表中l,hl,h分别表示母线、高分别表示母线、高,r,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r,r1 1,r,r2 2分别表示分别表示圆台上、下底面半径圆台上、下底面半径.【归纳拓展归纳拓展】(1)(1)圆柱的侧面展开图是一个长方形圆柱的侧面展开图是一个长方形,圆锥的侧面展开图是一个扇形圆锥的侧面展开图是一个扇形,圆台的侧面展开图圆台的侧面展开图是一个扇环是一个扇环.(2)(2)求旋转体表面上两点的最短距离可以把旋转体展开后转化为平面图形上两点的直线求旋转体
9、表面上两点的最短距离可以把旋转体展开后转化为平面图形上两点的直线距离距离.(3)(3)要注意领会和掌握两种数学思想方法要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法与等积法割补法与等积法.割补法是分割法与补形法的总称割补法是分割法与补形法的总称.补形法是把不规则补形法是把不规则(不熟悉的或复杂的不熟悉的或复杂的)几何体延伸或几何体延伸或添补成规则的添补成规则的(熟悉的或简单的熟悉的或简单的)几何体几何体,把不完整的图形补成完整的图形把不完整的图形补成完整的图形.分割法是把分割法是把复杂的复杂的(不规则的不规则的)几何体切割成简单的几何体切割成简单的(规则的规则的)几何体几何体.分割与补形是对立统一的
10、分割与补形是对立统一的,是是一个问题的两个相反方面一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还是证明垂直或平行关系都有简割补法无论是求解体积问题还是证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点化解题过程、开阔思维的优点.等积法包括等面积法和等体积法等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形等积法的前提是几何图形(或几何体或几何体)的面积的面积(或体积或体积)通过已知条件可以得到通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解平面图形的高或几何体的高利用等积法可以用来求解平面图形的高或几何体的高,特别是特别是在求三角形的高和三棱锥的高在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了作
11、辅助线直接计算高的烦琐这一方法回避了作辅助线直接计算高的烦琐.(3)(3)多面体与球多面体与球定义定义a.a.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接则称这个多面体是这个球的内接多面体多面体,这个球是这个多面体的外接球这个球是这个多面体的外接球.b.b.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切则称这个多面体是这个球的外切多面体多面体,这个球是这个多面体的内切球这个球是这个多面体的内切球.常用性质常用性质a.a.内切球球心到多面体各面的距离均相等内切球球心到多面体各
12、面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均外接球球心到多面体各顶点的距离均相等相等.b.b.正多面体的内切球和外接球的球心重合正多面体的内切球和外接球的球心重合.c.c.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,一般情况下不重合一般情况下不重合.d.d.基本方法基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理构造三角形利用相似比和勾股定理.e.e.体积分割是求内切球半径的通用做法体积分割是求内切球半径的通用做法.【归纳拓展】【归纳拓展】(1)(1)正方体的棱长为正方体的棱长为a,a,球的半径为球的半径为R R若球为正方体的内切球若球为正方体的内切球,则则2R=a;
13、2R=a;核心突破核心突破考点一考点一 空间几何体的三视图空间几何体的三视图【例例1 1】(2017(2017浙江卷浙江卷)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示(单位单位:cm),:cm),则该几何体则该几何体的体积的体积(单位单位:cm:cm3 3)是是()方法技巧方法技巧思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循遵循“长对正长对正,高平齐高平齐,宽相等宽相等”的基本原则的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体其内涵为正视图的高是几何体的高的高,长是几何体的长长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长俯视图的长是几
14、何体的长,宽是几何体的宽宽是几何体的宽;侧视侧视图的高是几何体的高图的高是几何体的高,宽是几何体的宽宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法由三视图画出直观图的步骤和思考方法:(1)(1)首先看俯视图首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图根据俯视图画出几何体地面的直观图;(2)(2)观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;(3)(3)画出整体画出整体,然后再根据三视图进行调整然后再根据三视图进行调整.【题组训练】【题组训练】B B1.1.(2017(2017北京卷北京卷)某四棱锥的三视图如图所示某四棱锥的三视图如图所示
15、,则该四棱锥的最长棱的长度为则该四棱锥的最长棱的长度为()C C2.2.(2018(2018北京卷北京卷)某四棱锥的三视图如图所示某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中在此四棱锥的侧面中,直角三角直角三角形的个数为形的个数为()(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4解析解析:由三视图得到空间几何体由三视图得到空间几何体,如图所示如图所示,则则PAPA平面平面ABCD,ABCD,平面平面ABCDABCD为直为直角梯形角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,PA=AB=AD=2,BC=1,所以所以PAAD,PAAB,PABC.BCAB,ABPA=A,PAAD,PAA
16、B,PABC.BCAB,ABPA=A,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,所以所以BCPB.BCPB.在在PCDPCD中中,PD=2,PC=3,CD=,PD=2,PC=3,CD=,所以所以PCDPCD为锐为锐角三角形角三角形.所以侧面中的直角三角形为所以侧面中的直角三角形为PAB,PAB,PAD,PAD,PBC,PBC,共共3 3个个.故选故选C.C.3.3.(2017(2017嘉兴一模嘉兴一模)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示(单位单位:cm),:cm),则该几何体的表面则该几何体的表面积是积是cmcm2 2,体积是体积是cmcm3 3.答案答案:767640404.4.
17、(2017(2017绍兴一模绍兴一模)已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为,体积为体积为.考点二考点二空间几何体的表面积和体积的最值空间几何体的表面积和体积的最值【例例2 2】(2016(2016浙江卷浙江卷)如图如图,在在ABCABC中中,AB=BC=2,ABC=120,AB=BC=2,ABC=120.若平面若平面ABCABC外外的点的点P P和线段和线段ACAC上的点上的点D,D,满足满足PD=DA,PB=BA,PD=DA,PB=BA,则四面体则四面体PBCDPBCD的体积的最大值是的体积的最大值是.方法技巧方法技巧此题本质是一
18、个折叠问题此题本质是一个折叠问题,相当于在相当于在ABCABC的边的边ACAC上取一点上取一点D,D,沿沿BDBD把把ABDABD折起折起,使点使点A A到点到点P P的位置后求四面体的位置后求四面体PBCDPBCD的体积的最大值的体积的最大值,折叠问题中关折叠问题中关注折叠前后变与不变的量与关系注折叠前后变与不变的量与关系,弄清这些关系弄清这些关系,折叠问题便能迎刃而解折叠问题便能迎刃而解.【题组训练】【题组训练】1.1.(2016(2016全国全国卷卷)在封闭的直三棱柱在封闭的直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1内有一个体积为内有一个体积为V V的球的球,AB,ABB
19、C,AB=6,BC=8,AABC,AB=6,BC=8,AA1 1=3,=3,则则V V的最大值是的最大值是()B B2.2.(2018(2018全国全国卷卷,理理7)7)某圆柱的高为某圆柱的高为2,2,底面周长为底面周长为16,16,其三视图如图其三视图如图.圆柱表圆柱表面上的点面上的点M M在正视图上的对应点为在正视图上的对应点为A,A,圆柱表面上的点圆柱表面上的点N N在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为B,B,则在此圆柱侧面上则在此圆柱侧面上,从从M M到到N N的路径中的路径中,最短路径的长度为最短路径的长度为()B B3.3.已知在半径为已知在半径为2 2的球面上有的球面上有A,
20、B,C,DA,B,C,D四点四点,若若AB=CD=2,AB=CD=2,则四面体则四面体ABCDABCD的体积的的体积的取值范围是取值范围是()A A考点三考点三空间几何体的外接球与内切球空间几何体的外接球与内切球【例例3 3】(2017(2017全国全国卷卷)已知圆柱的高为已知圆柱的高为1,1,它的两个底面的圆周在直径为它的两个底面的圆周在直径为2 2的的同一个球的球面上同一个球的球面上,则该圆柱的体积为则该圆柱的体积为()方法技巧方法技巧(1)(1)求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系系和数量关系
21、,利用相应体积公式求解利用相应体积公式求解;(2);(2)若所给几何体的体积不能直接若所给几何体的体积不能直接利用公式得出利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.B B【题组训练题组训练】3.3.某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示(单位单位:cm),:cm),则此几何体的体积是则此几何体的体积是cmcm3 3,该该几何体的外接球直径为几何体的外接球直径为cm.cm.阅卷评析阅卷评析等体积转化法等体积转化法(1)(1)这个正三棱锥的表面积这个正三棱锥的表面积;(2)(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
