1、第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1.1.两个实数比较大小的法则两个实数比较大小的法则关系关系法则法则作差法则作差法则作商法则作商法则abab_(a,b0)_(a,b0)或或_(a,b0)_(a,b0)a=ba=ba-b=0a-b=0(b0)(b0)aba0)_(a,b0)或或_(a,b0)_(a,b0a-b0a a1 1b ba a1 1b ba-b0a-bbab_传递性传递性ab,bab,bcc_可加性可加性abab_可乘性可乘性注意注意c c的符号的符号babcaca+cb+ca+cb+c_ababc0c0acbcacbc_ababc0c0acbcacbc性质性质性质内容
2、性质内容特别提醒特别提醒同向可加性同向可加性同向同正同向同正可乘性可乘性可乘方性可乘方性(nN,n2)(nN,n2)a a，b b同同为正数为正数可开方性可开方性(nN,n2)(nN,n2)_ababcdcdacbdacbd_ab0ab0cd0cd0acbdacbd_ab0ab0nnnnabab_ab0ab0nnnnabab3.3.不等式的倒数性质不等式的倒数性质(1)a(1)ab,abb,ab0 0(2)a(2)a0 0b b(3)a(3)ab b0,00,0c cd d(4)0(4)0a ax xb b或或a ax xb b0 0_._1111abab_.1111abab_.ababcdc
3、d_._1111bxbx1 1a a判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立立.().()(2)(2)同向不等式具有可加性和可乘性同向不等式具有可加性和可乘性.().()(3)(3)若两个数的比值大于若两个数的比值大于1 1，那么分子就大于分母，那么分子就大于分母.().()(4)(4)一个数越大，它的倒数不一定越小一个数越大，它的倒数不一定越小.().()【解析【解析】(1)(1)错误错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，在一个
4、不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.(2)(2)错误错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.(3)(3)错误错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立.(4)(4)正确正确.例如，例如，2323时，有时，有 但但-22-2，23231111-.-.22221.1.若若a0a0，-1b0-1b0，那么下列不等式中正确的是，那么下列不等式中正确的是()()(A)a(A)aabab2 2abab (B)ab (B)ab
5、2 2aabaab(C)aab(C)aababab2 2 (D)ab(D)ab2 2ababaa【解析【解析】选选A.A.因为因为-1b0,-1b0,所以所以b0bb0b2 21,1,于是于是aabaab2 2ab.1ba1b，下列不等式中不一定成立的是，下列不等式中不一定成立的是()()(A)a-b(A)a-b1-b (B)a-1b-11-b (B)a-1b-1(C)a-11-b (D)1-ab-a(C)a-11-b (D)1-ab-a【解析【解析】选选C.C.由由a1a1知知a-b1-b,a-b1-b,故故A A正确；由正确；由abab知知a-1b-1,a-1b-1,故故B B正确正确;由
6、由1b1b知知1-ab-a,1-ab-a,故故D D正确，正确，C C项错误，如当项错误，如当a=3a=3，b=-3b=-3时，不成立时，不成立.3.x+y43.x+y4的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是()()(A)x(A)x22或或y2 (B)x2y2 (B)x2且且y2y2(C)x(C)x22 (D)x2 (D)x2y2【解析【解析】选选B.B.由不等式的性质知，当由不等式的性质知，当x2x2且且y2y2时必有时必有x+yx+y4,4,但当但当x+yx+y44时，不一定有时，不一定有x2x2且且y2,y2,如当如当x=1,y=2x=1,y=2时就不成立时就不成立.4.4.与与
7、的大小关系是的大小关系是_._.【解析【解析】因为因为 而而所以所以 即即答案答案:32327676，1 132323232，1 176767676,32763276,111132763276327632763276.5.5.已知已知-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,则则a-ba-b的取值范围是的取值范围是_，a a2 2+b+b2 2的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】因为因为-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,所以所以2-b3,2-b3,于是于是0a-b2.0a-b2.又因为又因为1a1a2 24,4b4,4b2 29,9,所以所以5a5a2 2+b+b
8、2 213.0.5-x0.而要构成三角形，还要满足而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)(5-x)+(12-x)13-x.13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)(5-x)2 2+(12-x)+(12-x)2 2(13-x)1a1时，时，有有当当a1a0+sin 20，b=sin+cosb=sin+cos 0 0，而而因为因为(0,)(0,)，所以，所以sin(0,)sin(0,)，2sin(0,1)2sin(0,1)，即，即0 10 1，故必有，故
9、必有ab.a0+sin 20，b=sin+cosb=sin+cos 0 0，而而=2sin.=2sin.因为因为(),(),所以所以sin(1),sin(1),2sin(1,2),2sin(1,2),即即 1,1,故必有故必有ab.ab.,6 2 2a2sinsin 22sin(sin cos)bsin cos sincos,6 2 1,2ab【拓展提升【拓展提升】1.1.作差法比较大小的方法步骤作差法比较大小的方法步骤作差：有的可直接作差，有的需转化后才可作差；作差：有的可直接作差，有的需转化后才可作差；变形：变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子目的是判断差的符号，通
10、常进行通分、因式分解、配方、分子(分母分母)有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；判断差的符号；定号：若定号：若a-b0a-b0，则，则abab；若；若a-b0a-b0，则，则aba11，b0,b0,则则abab；若；若 11，b0,b0,则则aba5x5，则则P P与与Q Q的大小关系是的大小关系是_._.【解析【解析】而而 所以必有所以必有PQ.PQ.答案答案:PQPQPx4x5Qx2x3，1Px4x5,x4x51Qx2x3,x2x3x4x5x2x3,考向考向3 3 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用【典例【典例
11、3 3】(1)(2013(1)(2013合肥模拟合肥模拟)已知已知a,b,c,da,b,c,d为实数，且为实数，且cdcd，则则“ab”ab”是是“a-cb-da-cb-d”的的()()(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2012(2)(2012湖南高考湖南高考)设设ab1,cb1,clog(a-c)loga a(b-c(b-c)，其中所有的正，其中所有的正确结论的序号是确结论的序号是()()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)(3)(3)已知已知
12、-12x-11-12x-1dcd，所以，所以-d-c-d-c，因此当，因此当abab时能够时能够推出推出a-db-ca-db-c，但不一定有，但不一定有a-cb-da-cb-d，如，如a=3,b=2,c=4,d=1.a=3,b=2,c=4,d=1.但当但当cdcd且且a-cb-da-cb-d时，必有时，必有ab,ab,所以是必要不充分条件所以是必要不充分条件.故选故选B.B.(2)(2)选选D.D.由不等式由不等式ab1ab1知知 又又c0cb1ab1，c0cb-ca-cb-c1-c11-c1，由对数函数的图象与单调性知，由对数函数的图象与单调性知正确正确.故选故选D.D.(3)(3)由由-1
13、2x-11-12x-11，得，得0 x10 xa,axa,a00，则，则若若xa,axa,a00，则，则 或或若若xa,axa,a00，则，则若若xa,ax00，则，则110.xa11xa10.x110.ax1110.xxa或【变式训练【变式训练】(1)(2012(1)(2012长沙模拟长沙模拟)下列命题中为真命题的是下列命题中为真命题的是_._.若若ab,ab,则则若若ab0,cd0,ab0,cd0,则则若若ab,ab,且且a,bRa,bR,则则若若-,-,，则，则1-sin 0.1-sin 0.11algblg;2222adbc;ab11()();3323【解析【解析】由于由于 所以所以是
14、错误的；由于是错误的；由于ab0,cd0,ab0,cd0,所所以以 所以所以 故故 所以所以正确；由于函数正确；由于函数 是减函数，是减函数，ab,ab,所以所以 故故正确；当正确；当 时，时，1-sin=0,1-sin=0,故故不正确不正确.答案答案:1lg0,222ab0,cd0,22acbd,22adbc,x1y()3ab11()(),332(2)(2)若若13,-42,13,-42,则则-|-|的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】因为因为-42,-42,所以所以0|4,0|4,于是于是-4-|0,-4-|0,又又13,13,所以所以-3-|-3-|3.|0,b0,a0,b0,
15、且且e ea a+2a=(e+2a=(eb b+2b)+b,+2b)+b,所以有所以有e ea a+2ae+2aeb b+2b,+2b,设函数设函数f(xf(x)=e)=ex x+2x,+2x,显然函数显然函数f(xf(x)在在(0(0，+)+)上单调递增上单调递增,又又f(a)f(bf(a)f(b),),所以有所以有ab.ab.故故A A正确，正确，B B错误错误.又又e ea a-2a=(e-2a=(eb b-2b)-b-2b)-b，所以，所以e ea a-2ae-2a0)0可得可得xlnxln 2 2，所以函数所以函数g(xg(x)在在(0,ln 2)(0,ln 2)上递减，在上递减，在
16、(ln(ln 2,+)2,+)上递增上递增.因此因此由由g(a)g(bg(a)a (B)acb(A)cba (B)acb(C)cba (D)a(C)cba (D)acbcb【解析【解析】选选A.A.由由c-bc-b=a=a2 2-4a+4=(a-2)-4a+4=(a-2)2 200易知易知cbcb，又由已知可解得又由已知可解得b=ab=a2 2+1a+1a，所以，所以cbcba.a.3.(20133.(2013青岛模拟青岛模拟)若若1 1a a3 3，-4-4b b2 2，则，则a-|b|a-|b|的取的取值范围是值范围是_._.【解析【解析】-4-4b b2,0|b|2,0|b|4,4,-4
17、-4-|b|0,-|b|0,又又11a a3,-33,-3a-|b|a-|b|3.3.答案：答案：(-3(-3，3)3)4.(20134.(2013阳信模拟阳信模拟)A)A杯中有浓度为杯中有浓度为a a的盐水的盐水x x克，克，B B杯中有浓度杯中有浓度为为b b的盐水的盐水y y克，其中克，其中A A杯中的盐水更咸一些杯中的盐水更咸一些.若将若将A A，B B两杯盐水两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_._.【解析【解析】依题意知依题意知abab，将，将A A，B B两杯盐水混合后，盐水的浓度两杯盐水混合后，盐水的浓度变为变为 则有则有故
18、有故有答案答案:axbyxy，axbybxbybxyxy，axbyaxayaxyxy，axbyba.xyaxbybaxy1.1.若若a1,b1,b|b|(D)ab(C)|a|b|(D)aba+b-11,b1,b0,b-10,b-10，所以所以(a-1)(b-1)0(a-1)(b-1)0，展开整理即得，展开整理即得ababa+b-1-2x-2且且x0 x0，则，则 的取值范围是的取值范围是()()(A)(-,)(A)(-,)(B)(0)(B)(0)(C)(0,+)(0)(C)(0,+)(0)(D)(0,+)(-,)(D)(0,+)(-,)【解析【解析】选选D.D.因为因为x-2x-2且且x0 x0，所以当，所以当x0 x0时有时有 00；当；当-2x0-2xN (B)MN (B)M0(sin-1)(cos-1)0，故，故M N.M N.22
