1、第二章 函 数第第3 3课时课时 函数的值域函数的值域1.1.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域法求函数的值域,都应先考虑其定义域都应先考虑其定义域.2.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.3.3.求函数值域的常用方法有：求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法配方法、均值不等式法、判别式法、单调
2、性法等等.例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1011xxxy例题例题.解题分析解题分析:(1)(2)可采用方程的思想方法求出值域可采用方程的思想方法求出值域,即把函数即把函数看成是关于看成是关于x 的方程的方程,利用方程有解的充要条件求出利用方程有解的充要条件求出y的范围的范围;(3)可采用换元法或利用函数的单调性求出值域可采用换元法或利用函数的单调性求出值域;(4)还可采用还可采用基本不等式或利用函数的单调性求出值域基本不等式或利用函数的单调性求出值域.例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)
3、(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.yyxyxx1log,1331:3得）由（解)1,0(,01yyy例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.xxxysin241sin2sin22）（4sin2434,1sin1xx又331|yy函数的值域为例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.)0(213ttx）法一：（换元法）设（212tx得21|
4、yy函数的值域为)0(211)1(212122tttty例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.单调性）法二：（利用函数的（3021 x上单调递增，均在和函数21,21xyxy21x；，定义域为2121212121y21|yy函数的值域为例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.法）法一：（基本不等式（4xxyxxxy11),0(11得由21|2|1|1|xxxxxx31|,2|1|yyyy
5、或即函数的值域为例例1求下列函数的值域：求下列函数的值域：(1);(2)(3);(4)xxysin2sin-2133xxyx-xy2-1111xxxy例题例题.）法二：（判别式法）（401)1(),0(112xyxxxxy得由2121,4)1(2yyy或即04)1(02y的根，方程有不为31|yyy或得【解题回顾【解题回顾】第第(1)题是通过求原函数的反函数的定义域，题是通过求原函数的反函数的定义域，求原函数的值域求原函数的值域.也可将原函数式化为也可将原函数式化为 ，可利用指，可利用指数函数的性质数函数的性质 3x0 得得 .01 yy01 yybaxdcxyxsinyy1221122yy第
6、第(2)题采用了题采用了“部分分式法部分分式法”求解求解,即将原分式分解成两项，其即将原分式分解成两项，其中中一项为常数，另一项容易求出值域一项为常数，另一项容易求出值域形如形如(a0，c0)的函数均可使用这种方法的函数均可使用这种方法.本题也可化为本题也可化为 利用利用|sinx|1，得，得 ，求函数的值，求函数的值域域.第第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量的取值范围的取值范围第第(4)题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使题利用基本不等式求函数的值域时，必须注意公式使用的条件，本题也可分用的条件，本题也可分x0，x0
7、两类情况利用基本不等两类情况利用基本不等式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造式求函数的值域；利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量自变量x的二次方程的二次方程.例例2.已知函数已知函数y=mx2-6mx+m+8的定义域为的定义域为R(1)求实数求实数m的取值范围；的取值范围；(2)当当m变化时，若变化时，若y的最小值为的最小值为 f(m)，求求 f(m)的值域的值域 解题分析：解题分析：的取值范围。从而可求出恒成立，时可知的定义域是由mmmxmxRxRmmxmxy0868622解解:依题意依题意,当当xR时时,mx2-6mx+m+80恒成立恒成立,当当m=0时时,xR;当当m0
8、时时,0)8(4)6(0,002mmmmm即解之得解之得0m1,综上综上0m1,;220)2(ym时当;88)3(102mxmym时当;88minmy)10(88)(mmmf因此，220)(，的值域为mf【解题回顾】对于【解题回顾】对于xR时时ax2+bx+c0恒成立恒成立.一定要分一定要分a=0与与a0两种情况来讨论两种情况来讨论.这样才能避免错误这样才能避免错误.例例2.已知函数已知函数y=mx2-6mx+m+8的定义域为的定义域为R(1)求实数求实数m的取值范围；的取值范围；(2)当当m变化时，若变化时，若y的最小值为的最小值为 f(m)，求求 f(m)的值域的值域 变式题变式题1 已知
9、函数已知函数y=lg(mx2-6mx+m+8)的值域为的值域为R,求实数求实数m的取值范围的取值范围.解解:当当m=0时时,函数为函数为y=lg8,值域不为值域不为R;当当m0时时,mx2-6mx+m+8不能取遍所有正数不能取遍所有正数,故值域也不为故值域也不为R;欲使欲使mx2-6mx+m+8取遍一切正数取遍一切正数,只需只需0)8(4)6(02mmmm解得解得m1,+)例例3.设设f(x)=x2-2ax(0 x1)的最大值为的最大值为M(a)，最小值为，最小值为m(a)，试求试求M(a)及及m(a)的表达式的表达式.解题分析解题分析:本题为本题为“顶点动，区间定顶点动，区间定”的二次函数最
10、值问题，只的二次函数最值问题，只须讨论顶点的移动情况与区间须讨论顶点的移动情况与区间0，1的位置关系，便可确定最的位置关系，便可确定最值。值。axxaaxaxxxf顶点横坐标为解：,1,0,)(2)(2220)0()(,21)1()(0)1(famafaMa时，当2)(,21)1()(210)2(aamafaMa时，当2)(,0)0()(121)3(aamfaMa时，当afamfaMa21)1()(,0)0()(1)4(时，当)1(21)10()0(0)(,)21(0)21(21)(2aaaaaamaaaaM综上所述：【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主【解题回顾】含有参变数字母
11、的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形：情形：(1)顶点顶点(对称轴对称轴)不动，而区间变化不动，而区间变化(移动移动)；(2)顶点顶点(对称轴对称轴)可移动，而区间不动；可移动，而区间不动；(3)顶点顶点(对称轴对称轴)和区间都可移动和区间都可移动无论哪种情形都结合图无论哪种情形都结合图象、顶点象、顶点(对称轴对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论行讨论.例例3
12、.设设f(x)=x2-2ax(0 x1)的最大值为的最大值为M(a)，最小值为，最小值为m(a)，试求试求M(a)及及m(a)的表达式的表达式.1.凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项凡涉及二次三项式恒成立问题，一定要注意讨论二次项系数是否为零系数是否为零.2.用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条用基本不等式求函数值时，要注意等号成立的充要条件件.3.不可将不可将f(x)中的中的“x”和和fg(x)的的“x”混为一谈，应搞清它混为一谈，应搞清它们们“范围范围”之间的关系之间的关系.课后练习课后练习1.的值域是的值域是_2.定义域为定义域为R的函数的函数y=f(x)的值域为的值域为a，b，则函数，则函数y=f(x+a)的值域为的值域为 ()(A)2a，a+b (B)0，b-a (C)a，b (D)-a，a+b 3122xxy5，+）Cxxyxxyeeyxxcos2sin)3(;24)2(;111.3）（求下列函数的值域：答案答案(1)(-1,1)(2)(-,2 (3)33,334.分别根据下列条件分别根据下列条件,求实数求实数a 的值的值:；上有最大值，在区间函数2 1012)()1(2aaxxxf42312)()2(2上有最大值，在区间函数aaxaxxf
