1、一一.最大值和最小值定理最大值和最小值定理二二.介值定理介值定理1 1 最大值和最小值定理最大值和最小值定理设设 f(x)C(a,b),则则 (i)f(x)在在 a,b 上为上为以下四种以下四种单调函数时单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxyy=f (x)a,b,y=f(x)a,b,.)()(max,bfxfbax ,)()(min,afxfbax ，)()(max,afxfbax .)()(min,bfxfbax 此时此时,函数函数 f(x)恰好在恰好在 a,b 的的 端点端点 a 和和 b 处处取到最大值和最小值取到最大值和最小值.则则则则 (ii)y=f(x)为一般的连续
2、函数时为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)若若 f(x)C(a,b),则它在该闭区间则它在该闭区间上一定取到最大值和最小值上一定取到最大值和最小值.定有最大值和最小值定有最大值和最小值闭区间上的连续函数一闭区间上的连续函数一)(最大最小值定理最大最小值定理:两两个个条条件件缺缺一一不不可可分分析析;.)1闭区间闭区间.)2函数连续函数连续o1o1:反例反例,)1,0()1(1)(.)1上连续上连续在开区间在开区间xxxg )(xgy )(.)2x 11 xx11 x11 xx 外外
3、上除上除在闭区间在闭区间12,0 x它没有最大值它没有最大值处处连续处处连续,.和最小值和最小值)(xy.但没有最大值但没有最大值若若 f(x)C(a,b),则则 f(x)在在 a,b 上有界上有界.xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am 看图就知道如何证明了看图就知道如何证明了.推论推论二二.介值定理介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.先看一个图先看一个图 描述一下这个现象描述一下这个现象(零点定理零点定理或或根存在定理根存在定理)则至少存在一点则至少存在一点 (a,b),使得
4、使得 f()0.设设 f(x)C(a,b),且且 f(a)f(b)0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O 如何证明？如何证明？将区间将区间 a,b 等分为等分为 a,a1 和和 a1,b,在这两个区间中在这两个区间中,选择与选择与 a,b 性质相同的性质相同的一个一个,例如例如,若若 f(a1)f(b)0,则选取则选取区间区间如此下去如此下去,小区间的长度趋于零小区间的长度趋于零,并且并且a1,b,然后然后,对对 a1,b 进行等分进行等分,并进行选并进行选择择,又得一个新的小区间又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质总保持函数区间端点值反号的性质,由函数由函数的连续性的连续性
5、,这些小区间的左端点或右端点构这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值成的数列的极限值,就是要求的就是要求的 (a,b).f(a)=Af(b)=Byy=f(x)Cy f()=C下面看看下面看看,坐标平移会产生什么效果坐标平移会产生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述这个现象如何描述这个现象?(介值定理介值定理)设设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且且 A B,则对于则对于 A,B 之间的任意一个数之间的任意一个数 C,至少存在一点至少存在一点 (a,b),使得使得 f()=C.令令 (x)=f(x)C 故由根存在定理故由根存在定理,至少存在一点至少存在一点 (a,b)
6、使使 则则 (x)C(a,b)C 在在 A,B 之间之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(A C)(B C)yBCAO a bxx证证 ()=0,即即 f()=C.0最大、最小值定理最大、最小值定理介值定理介值定理？引入引入设设 f(x)C(a,b),则则 f(x)取得取得值值 m 之间的任何之间的任何一个一个值值.推论推论介于其在介于其在 a,b 上的最大值上的最大值 M 和最小和最小.)()()()(21nxfxfxffn 设设 f(x)C(a,b),证明证明:至少存在一点至少存在一点 x1,xn,使得使得例例1a x1 x2 xn b,证证故故由由 ),()(baCxf ,
7、)(max)()(min,11Mxfxfmxfnnxxxxxx ,)()(1Mnxfxfmn 从而从而由介值定理由介值定理,至少存在一点至少存在一点 x1,xn,使使.)()()(1nxfxffn 证明方程证明方程 x5 3x=1,在在 x=1 与与 x=2 之间之间令令 f(x)=x5 3x 1,x 1,2,则则 f(x)C(1,2),又又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,b 0)设设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则则 f(x)C(0,a+b ),而而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,则则 f(0)f(a+b)0,由根存在由根存在综上所述综上
8、所述,方程在方程在(0,a+b 上至少有一个根上至少有一个根,例例4 :.,证明并且连续在圆周上有定义已知函数 f ,使处和在其两个端点可以找到一直径ba证证 .,极坐标系以某个半径为极轴建立以圆心为极点 ,的也是函数确定圆周上的一点可由极角于是f .2 ,为周期且以的函数 ).()(,ff使得原问题归结为求一从而 .)(),()()(是一连续函数则令ff ;0,0)0(的直径即为所求则对应于极角若).()(bfaf ,0)0(则由若)2()()()()(ffff),0()()0()0()(ffff)()()(ff,0)()0(,0 )(且上连续在故函数 ,0)(),0(:00使得由介质定理可
9、知 ).()(00 ff即有证毕)(lim,),()(:.1xfxfx 且且内连续内连续在在若若证明证明.),()(,内有界内有界必在必在则则存在存在 xf,)(lim.Axfx 设设证证,1 给定给定,0 X,时时当当Xx .)(AxfA.1)(AAxf ,时时即当即当时时又当又当XXxXx 界界闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数有有.)(Kxf.),(1|,max)(内成立内成立在在 AKxf()XX2.设设,2,0)(aCxf,)2()0(aff 证明至少存在证明至少存在一点一点,0a 使使.)()(aff 提示提示:令令,)()()(xfaxfx 则则,0)(aCx 易证易证0)()
10、0(a 0)()()(212xfxff上连续上连续,且恒为正且恒为正,3.设设)(xf在在,ba对任意的对任意的,),(,2121xxbaxx 必存在一点必存在一点证证:,21xx 使使.)()()(21xfxff 令令)()()()(212xfxfxfxF ,则则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf )()()(2122xfxfxf)()(21xfxf 221)()(xfxf 0 使使,)()(21时时当当xfxf,0)(xf,0)()(21 xFxF故由零点定理知故由零点定理知,存在存在,),(21xx ,0)(F即即.)()()(21xfxff 当当)()(21xfxf 时时,取取1x 或或2x ,则有则有)()()(21xfxff 证明证明:
