1、2021届四川省成都市彭州市高三数学（理）试题一、单选题1设集合，集合，则集合等于（ ）ABCD【答案】C【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集运算求解.【详解】因为集合，集合，所以集合，故选：C2已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得复数z的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限.【详解】因为，所以，即z在复平面内所对应的点为，在第二象限故选:B【点睛】本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题.3已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是：（
2、）ABCD【答案】B【详解】可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题【解析】命题的真假判断4已知且满足，则（ ）ABCD【答案】C【分析】由和与差的余弦公式以及二倍角公式化简即可求出.【详解】，.故选：C.5已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理即可求解.【详解】，解得，由余弦定理：，.故选：A.6在矩形ABCD中，点M在边CD上运动，则的最小值为（ ）AB0C1D【答案】B【分析】以A原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，用向量数量积的坐标运算求出数量积后可
3、得最小值【详解】如图，以A原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，又M点在CD上，设，则，当时，有最小值0故选：B【点睛】本题考查向量数量积的最小值，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量的数量积，化数量积为函数，从而求得最小值7设双曲线的右焦点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【分析】设点为第一象限的点，求得，再利用公式可计算出双曲线的离心率.【详解】如下图所示：设点为第一象限的点，由于以为直径的圆交双曲线的渐近线于点，则，且，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲
4、线离心率的求解，在涉及双曲线的渐近线方程时，利用公式计算较为简便，考查计算能力，属于中等题.8一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为的正方形，则其体积为（ ）ABCD【答案】A【分析】由三视图知：该几何体是一条侧棱垂直与底面，底面是边长为2的正方形，高为2的倒立的四棱锥，然后利用锥体体积公式求解.【详解】如图所示：由三视图知：该几何体是一个倒立的四棱锥，其中底面ABCD，底面为正方形，所以四棱锥的底面积为4，高为2，所以四棱锥的体积为： ，故选：A9已知，则，的大小关系正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】易知，而，从而可比较出大小【详解】解：因
5、为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以又，.故选：C.【点睛】此题考查对数式比较大小，考查对数函数的性质的应用，属于基础题10众所周知，人类通常有4种血型：、，又已知，4种血型、的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就.这些规则可以归结为4条：；不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的（代表、任一种血型）.按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为（ ）A0.5625B0.4375C0.4127D0.5873【答案】D【分析】由题意可知，当供血者血型为型时，受
6、血者为、，均可，求出其概率；当供血者血型为型时，受血者血型为、，求出其概率；当供血者血型为型时，受血者血型为、，求出其概率；当供血者血型为型时，受血者血型为，求出其概率，而每一个情况之间是互斥的，从而可求出概率【详解】当供血者血型为型时，受血者为、，均可，故概率，当供血者血型为型时，受血者血型为、，故概率，当供血者血型为型时，受血者血型为、，故概率，当供血者血型为型时，受血者血型为，故概率，故正确输血的概率为.故选：D.【点睛】此题考查互斥事件的概率的求法，属于中档题11已知实数，满足，则下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】对已知进行变形，得，然后构造函数，利用的单调性可求得答
7、案.【详解】，构造函数，与均在上单调递增，在上单调递增，A错误；，的正负不确定，B错误；又，C错误，D正确，故选：D.【点睛】本题考查了构造函数，利用单调性求解的能力，属于中档题.12已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）ABCD【答案】C【分析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.【详解】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，联立抛物线与切线方程，转化得，解得，当时，直线方
8、程为，解得，则，因为，所以，解得；当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.二、填空题13若、满足约束条件，则的最大值为_【答案】【分析】作出可行域，利用目标函数的几何意义求解【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），可变为，表示直线的纵截距，因此该直线过点时纵截距最小，最大，故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，利用目标函数的几何意义求最值14的展开式的中间一项为_.【答案】【分析】根据展开式共有7项
9、，则展开式的中间一项为第四项，利用通项公式求解.【详解】因为的展开式共有7项，所以展开式的中间一项为，故答案为：15在等腰三角形ABC中，顶角为120，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为_【答案】【分析】据题意可得几何体的轴截面为边长为2，邻边的一夹角为60的菱形，可得当菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得答案.【详解】解：据题意可得几何体的轴截面为边长为2，邻边的一夹角为60的菱形，即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得内切圆的半径，故故答案为：.【点睛】本题主要考查球的体积公式，由题意求出球的半径是解题的关键，属于基础题.16已知函数，关
10、于函数有下列命题：；的图象关于点对称；是周期为的奇函数；的图象关于直线对称.其中正确的有_.（填写所有你认为正确命题的序号）【答案】【分析】计算出的值来判断；利用的值来判断；利用三角函数的周期性和奇偶性来判断.【详解】，正确；，又，即，错误，正确；，为奇函数，又，错误.故正确的有.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心、奇偶性、周期性等知识.三、解答题17已知数列是公差为的等差数列，且是的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和.【答案】（1）当时，；当时，；（2）.【分析】（1）根据等比中项的性质列出方程，求出公差，再由等差数列通项公式求解即可；（2
11、）根据（1）得出，再用裂项相消求前n项和即可.【详解】（1）是的等比中项，即，整理得，解得或，当时，当时，；（2）由（1）知，当时，）.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和裂项相消法求前n项和，涉及到等比中项，属于中档题.18西尼罗河病毒（WNV）是一种脑炎病毒，WNV通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴
12、韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y（百盒）的统计数据如下：投入量x（千克）12345产量y（百盒）1620232526由相关系数可以反映两个变量相关性的强弱，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱（1）计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？参考数据：参考公式：相关系数，线性回归方程中，【答案】（1），x与y具有很强的相关性；（2）54.2千克【分析】（1）根据题中数据分别计算出、代入题中公式可得的值，可得答案;（2）由题中数据计算出，可
13、得y关于x的线性回归方程，可得当（百盒）时，x的值，可得答案.【详解】解：（1），则所以x与y具有很强的相关性（2）由（1）得，所以y关于x的线性回归方程为当（百盒）时，（千克）故要使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入54.2千克利巴韦林【点睛】本题主要考查线性回归方程及相关系数r的相关知识，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.19如图，在直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）.中，底面是菱形，且是凌的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由勾股定理可得，得出平面，再通过和即可得证；（2）以点为坐标
14、原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】解：（1）因为点是的中点，所以，又，故在中，由题可知，则，所以.因为四棱柱是直四棱柱，故平面，平面，故，因为，所以.又，所以平面；（2）由（1）可知，两两相垂直，故以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，.所以，设平面的法向量为，则令则设平面的法向量为，则，令，则，则，因为二面角为锐角，则二面角的大小为.【点睛】利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20已
15、知是椭圆的左、右焦点，点是的上项点，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，若与交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意知，结合，求出即可得答案；（2）当斜率为时，当斜率不为时，设方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式求得，再利用换元法求其范围即可.【详解】（1）由题意知，则，又，可得所以的方程为.（2）当斜率为时，.当斜率不为时，设方程联立，化简可得，恒成立，设，所以所以令，则从而此时综上的取值范围.【点睛】方法点睛：求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.21已知函数.（1）当
16、时，求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为，的极小值为；（2）.【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，确定减区间，然后可得极值；（2）不等式转化为有解，引入函数，只需在上的最小值小于0，【详解】解：（1）当时，.，当，时，；当时，.的递增区间为，的递减区间为，的极大值为，的极小值为.（2）若，使得成立，即有解，设，只需在上的最小值小于0，.当时，时，在上单调递增，.，.当，即时，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，.，不满足题意.当，即时，时，在单调递减，.又，.实数的取值范围是.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究不等式有解问题，解题方法是转化为
17、函数的最小值小于0旨在考查学生的运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，分类讨论思想22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.【答案】（1）（2）与交点的极坐标为，和【分析】（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . 的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
