1、2021北京海淀高三二模数 学2021.05本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，则(A) (B) (C) (D) (2)设.若，则(A)-1(B)-2(C)1(D)2(3)已知，则(A)(B)(C) (D) (4)已知F为抛物线的焦点， 是该抛物线上的一点.若，则(A)(B) (C) (D) (5)向量a，b，c在边长为1的正
2、方形网格中的位置如图所示，若e为与c同方向的单位向量，则(A)1.5(B)2(C)-4.5(D)-3(6)已知实数x，y满足，则x的最大值是(A)3(B)2(C)-1(D)-3(7)已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是(A) (B) (C) (D) (8)已知正方体 (如图1)，点P在侧面内(包括边界).若三棱锥的俯视图为等腰直角三角形(如图2)，则此三棱锥的左视图不可能是(9)已知实数是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分
3、也不必要条件(10)已知函数，若对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为(A)0(B)1(C)2(D)无数第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)已知数列满足，则的前6项和为 。(12)已知的展开式的二项式系数之和为16，则 ；各项系数之和为 。(用数字作答)(13)在ABC中， ，则ABC的面积为 。(14)已知双曲线的左焦点为F1，A，B为双曲线M上的两点，O为坐标原点若四边形为菱形，则双曲线M的离心率为 。(15)普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”( Look and
4、say sequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作Ai，其中为，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，按照相同的规则可得其它Ai，例如A3为给出下列四个结论：若的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中，则；中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字3；的每一项中均不含数字4；对于的第k项的首位数字与的第k+2项的首位数字相同。其中所有正确结论的序号是 。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共14分
5、)如图，在三棱锥中， 分别是AC，PC的中点.()求证：平面；()求二面角的余弦值(17)(本小题共14分)已知函数的部分图象如图所示。()直接写出的值；()再从条件、条件中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值。条件：直线为函数的图象的一条对称轴；条件： 为函数的图象的一个对称中心(18)(本小题共14分)为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位：分)用茎叶图记录如下：()从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；()从该地区参加
6、该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率；()为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宜传志愿者.记这10名男生竞赛成绩的平均数为，这10名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.(19)(本小题共14分)椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，且()求椭圆C的方程；()M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)， ，直线EM交x轴于点P，求的值.(20)(本小题共15分)已知函数()求曲线在点处的切线方程；()求的单调区
7、间；()若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证： (21)(本小题共14分)已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数。()若，求集合和，以及的值；()给定正整数n，集合对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合求证: ；求的最小值。2021北京海淀高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CABBDCDDAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案1264 81三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）因
8、为BCPC，ACBC，ACPCC，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BC平面PAC.又因为BC平面ABC，所以平面ABC平面PAC.（）连结PD，因为PAPC，D是AC的中点，所以ADDC，PDAC.过C作CH/PD，则CHAC.因为BC平面PAC，CH平面PAC，所以BCCH.又BCAC，如图，以C为原点，分别以CB，CA，CH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.因为AC6,PC5，所以PD4.因为BC6，所以C(0,0,0)，B(6,0,0)，A(0,6,0)，D(0,3,0)，P(0,3,4).因为E是PC的中点，所以E(0,2).所以，.设平面DEB的法向量为n(x
9、,y,z)，则即令x2，则y4，z3.所以n(2,4,3).由（）可得：BC平面PAC.取平面ADE的一个法向量为m(1,0,0).所以所以二面角ADEF的余弦值为.（17）（本小题共14分）解：（）.（）选择条件因为直线为函数的图象的一条对称轴，所以当时，即，.因为，所以.因为，所以.所以A2.所以.因为当时，即当时，f(x)取到最小值，最小值为.选择条件因为(,0)为函数的图象的一个对称中心，所以当时，即，.因为，所以.因为，所以所以A2.所以.因为当时，所以当或时，即当或时，f(x)取到最小值，最小值为.（18）（本小题共14分）解：（）由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，
10、其中竞赛成绩在分以上的学生有5名.所以 随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为.所以 从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为.（）记表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上”，表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上”，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多”.同（），从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在90分以上的概率估计为，则（）参考答案：不能确定是否有上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.所以不能确定是否有（19）（本小题共14分）解：（）由题意知：解得
11、所以 椭圆C的方程为（）设M(0,m)，N(0,n)，E(x0,y0).由（）可知F1(1,0)，F2(1,0).因为MFN90，所以，即.又因为，所以.所以.所以或.因为点M与点E位于x轴的两侧，即y0与m异号，所以.所以.（20）（本小题共15分）解：（）因为，所以所以又因为，所以曲线在点(1,f(1)处的切线方程为y1(1a)(x1)，即y(1a)xa（）f(x)的定义域为(0,).当时，所以的单调递增区间为(0,).当时，令，得xa.与在区间(0,)上的情况如下：x(0,a)a(a,)0极小值所以的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,).（）由（）知：当时，在(0,)上单调递
12、增.所以至多有一个实根，不符合题意.当时，在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增.所以的最小值为.若，则，所以至多有一个实根，不符合题意.若，即，得.又，且在(0,a)上单调递减，所以在(0,a)上有唯一零点.因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为x0，所以在(0,a)上的唯一零点就是x0.方法一：所以 ，.所以.所以“”等价于“”，即.由（）知，当a1时，的最小值为.又因为，所以.所以.方法二：“”等价于“”.又，所以因为在(0,a)上单调递减，所以“”等价于“”，即因为，令，则，.即(*)等价于，即.所以“”等价于“”.令.所以.当时，所以g(t)在(1,+)上单调递增.所以
13、g(t)g(1)，而g(1)0.所以成立.所以.（21）（本小题共14分）解：（）XY1,2，YX5，|(XY)(YX)|3.（）显然.若AB中含有一个不在S中的元素，则，即.若，且，则此时A中最小的元素，B中最小的元素，所以C中最小的元素.所以.因为，所以，即.综上，.由知.所以若，或，则若，且，设，且，则，若，因为，所以这个数一定在集中C中，且均不等于1.所以所以当，时，所以的最小值是坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会
14、找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。 由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。 终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变
15、成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以
16、双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。 感恩，是一种美德，是一种境界。 感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。 感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。 感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。 感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。 感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨
