1、2021届北京市延庆区高三上学期统测考试数学试题一、单选题1已知集合A=x|x|1，则AB=（ ）ABCD2，2【答案】A【解析】先求得集合，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法.2已知向量若与方向相同，则等于( )ABCD【答案】D【解析】依题/，且与符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为与方向相同，则存在实数使，因为，所以，所以，解之得，因为，所以，所以.故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.3圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）A4B5C6D7【答案】C【解析】求得圆的圆心和半径，由此
2、求得圆上一点到原点的距离的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到原点的距离为，所以圆上一点到原点的距离的最大值为.故选：C【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.4下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】对选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此判断出正确选项.【详解】对于A选项，的定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于B选项，定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于C选项，的定义域为，在上递增，不符合题意.对于D选项，的定义域为，在上递减，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.5若为第三象限角，则
3、（ ）ABCD【答案】C【解析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为为第三象限角，所以，可得 ，所以是第第一，二象限角，所以，不确定，故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.6设抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据求得的横坐标，由此求得的纵坐标，从而求得的长.【详解】抛物线的准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，将代入抛物线方程得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.7已知函数，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D【解析】由
4、，可得出，作出函数与函数的图象，数形结合可求得不等式的解集.【详解】函数的定义域为，且，由可得，作出函数与函数的图象如下图所示：由于，则函数与函数图象的两个交点坐标为、，由图象可知，不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象求解函数不等式，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.8已知直线，平面，那么“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，因为，所以，若，则，又，即可得，反之，若，由，可得，又，则有.所以“”是“
5、”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.9在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】首先求得点的坐标，然后根据三角函数的定义求得.【详解】将点绕原点逆时针旋转到点，根据三角函数的定义可知.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.10某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（
6、取）（ ）A年B年C年D年【答案】C【解析】直接计算出若干年后产品的产量，由此确定正确选项.【详解】年后，产品产量为万支；产品产量为万支.年后，产品产量为万支；产品产量为万支.年后，产品产量为万支；产品产量为万支.年后，产品产量为万支；产品产量为万支.所以经过年后产品的年产量会超过产品的年产量.故选：C【点睛】本小题主要考查指数增长模型，属于基础题.二、填空题11已知复数是负实数，则实数的值为_【答案】1【解析】将复数写成标准式，再根据复数为负实数得到方程，解得即可；【详解】解：因为为负实数，所以解得故答案为：【点睛】本题考查复数的类型求参数的值，属于基础题.12已知正方形的边长为2，点P满足
7、，则_【答案】3【解析】由题得点是中点，求出，再利用求解.【详解】因为，所以点是中点，所以,所以,由题得.所以.故答案为：3【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前项的和为_【答案】40【解析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，
8、所以前4项和为，故答案为：40.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.14将函数y=的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：； 在上单调递增；在上有两个零点；的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】先求得解析式，再利用正弦函数的单调性、对称轴、零点逐一判断每一个是否正确.【详解】，对于：，故正确；对于：当时，所以在上先单调递增后单调递减；故不正确；对于：令，即，则，解得：，当时，；当时，；所以在上有两个零点，故正确；对于：令，解得：，当当时，；所以的图象
9、中与y轴最近的对称轴的方程是.故不正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，考查了单调性、零点、对称轴，属于中档题.15设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为_【答案】【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，即联立，解得，即；面积为：；双曲线，其焦距为；当且仅当时，取等号；的焦距的最小值为；故答案为：.【点睛】本题主要考查了求双曲线
10、焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题16A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A班12 1313182021B班11 11.5121315.517.520C班11 13.5151616.51921（）试估计B班的学生人数；（）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;（）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3
11、人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.【答案】（）63；（）；（）.【解析】（）根据分层抽样的知识估计班的学生人数.（）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（）先计算出选法总数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名根据分层抽样方法班的学生人数估计为人. （）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，设此人一周上网时长超过15小时为事件D，其中D包含的选法有3+3+4=10种，.由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为.（）从A班的6人中随机选2人，有种选法，从C班的7人中随机选1
12、人，有种选法，故选法总数为：种设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，则中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人超15小时，所以.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力.17如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）.【解析】（）根据平面，得到；根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可证；（）设的中点为，连接，连接，根据面面平行的判定定理，先证
13、明平面平面，进而可证线面平行；（）以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面和平面的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.【详解】（）因为平面，平面，所以；又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，即；（）设的中点为，连接，则，又平面，平面，所以平面；连接，因为且， 所以是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面；又，且平面，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （）以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.由（）可知，平面，即平面，所以是平面的一个法向量， 又，设为平面的法向量，则，即
14、，不妨设，可得 ， 因为二面角的平面角是钝角， 所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.18设是公比不为1的等比数列，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求的公比；（2）求数列的前项和条件：为，的等差中项；条件：设数列的前项和为，.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）【解析】（1）选，化简即得解；选 ，化简即得解；（2）利用分组求和解答即可得解.【详解】解：选 （1）因为为的等差中项，所
15、以 所以 ， 因为 所以所以，（舍） 选 （1）因为，所以， 因为，所以，所以 （2）由题得等比数列的首项，所以，设数列的前项和为，因为数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以 , .【点睛】本题主要考查等比数列基本量和通项的求法，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60.（）若，求的面积；（）若，求角C.【答案】（）；（）.【解析】（）利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出的值，利用面积公式即可求面积；（）由题意知，将中的用替换，再整理化简即可求角C.【详解】（）在中，因为，所以，所以，
16、由余弦定理可得， 所以的面积为； （）在中，因为， ， ， 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，两角差的正弦公式、辅助角公式等，属于中档题.20已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为.（）求椭圆C的方程；（）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.【答案】（）；（）.【解析】（）根据题中所给的条件，求得，从而得到椭圆的方程；（）根据题意，设出点，根据点在椭圆上，得到，分别写出直线的方程，求得M、N的坐标，表示出四边形的面积，求得结果.【详解】（）由题意: 设直线：，令，则，于是，.所以，椭圆方程为.（）
17、设，且，又，所以直线，令，则，直线，令，则，所以四边形的面积为，所以四边形的面积为.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线的方程，直线与坐标轴的交点，四边形的面积，属于中档题目.21已知函数.（）当时，求函数在点处的切线方程；（）当，时，求函数的最大值；（）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.【答案】（）；（）；（）有2个零点，理由见解析.【解析】（）根据切点和斜率求得切线方程.（）当，时，利用的二阶导数，来求得的最大值.（）判断出在上的单调性，结合零点存在性定理判断出在上有个零点.根据的奇偶性判断出在区间上有个零点.由此判断出当，时，函数的零点个数.【详解】（）当时，函数， 切线的斜率， 曲线在原点处的切线方程为.（），令，则， 当，时，所以在上单调递.所以，即，仅在处，其余各处，所以在上单调递增， 所以当时，的最大值为. （），因为，当时，仅在处，其余各处，所以在上单调递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即在上有且只有一个零点， 因为，所以是偶函数，其图像关于轴对称，所以在上有且只有一个零点， 所以在上有2个零点.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程、最值，考查利用导数研究函数的零点.
