1、2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|2x4，Bx|axa+3，若ABA，则a取值范围是（）A（2，+）B（，1C1，+）D（2，+）2设复数z1+i（i是虚数单位），则|z2+|（）A1BCD23从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A8B12C16D204设函数f（x）2x2x+x3，则使得不等式f（2x1）+f（3）0成立的实数x的取值范围是（）A（，1）B（，2）C（1，+）D（2，+）5已知实数x，y满足，则zx2y的最大值为（）A5B1C2D36已知sin（）si
2、ntan1，则tan（）A2B2CD7设an是等比数列，前n项和为Sn，若，则（）ABCD8已知函数ycos（x+）的图象如图所示，其中为正整数，|2，则（）A1，2B1，2C2，4D2，49设抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记AOF和BOF的面积分别为S1，S2，则（）A9B4C3D210九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为
3、V2，若，台体的体公式为V（S+S），其中S、S分别为台体的上、下底面的面积则“方亭”的上、下底面边长之比为（）ABCD11已知|2，且，的夹角为60，若向量|1，则的取值范围是（）A4，4B2C0，2D0，412对任意x，e2，使得不等式（lnxk）x3lnx成立的最大整数k为（）A2B1C0D1二、填空题（共4小题）.13已知函数，则曲线yf（x）在（0，0）处的切线方程为 14某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人据
4、此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为 15已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为G连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，若k1k2，则双曲线C的离心率为 16钝角ABC的面积是，AC2，BC3，角A的平分线交BC于点D，则AD 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a1，n（n+1）anan1+（n+1）annan10，n2，nN（）求证：数列为等差
5、数列；（）设数列（2n+1）an2的前n项和Sn.证明：Sn118如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心（）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值19某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，
6、小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求小强同学前三道题都答对的概率；（）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（）求小强同学能通过比赛的概率20设F1，F2分别为椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知PF1F2的面积为，cosF1PF2（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经
7、过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）x2+xln（ax+b），aR，a0（）当a1，b0时，求证：f（x）；（）若f（x）x2恒成立，求ab的最大值（二）选考题：共10分请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，常数r0）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线C2的极坐标方程为28sin+150（）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（）若r1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ
8、|的最小值选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x）|3x+1|+|x2|（）解不等式：f（x）5；（）若关于x的不等式f（x）x2+m在0，3上恒成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|2x4，Bx|axa+3，若ABA，则a取值范围是（）A（2，+）B（，1C1，+）D（2，+）解：由ABA知AB，故，解得a1故选：C2设复数z1+i（i是虚数单位），则|z2+|（）A1BCD2解：因为，所以，故选：B3从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A8B12C16D20解：由题设知不
9、同的选法可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种，故选：C4设函数f（x）2x2x+x3，则使得不等式f（2x1）+f（3）0成立的实数x的取值范围是（）A（，1）B（，2）C（1，+）D（2，+）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x1）f（3），2x13，解得x1，x的取值范围是（，1）故选：A5已知实数x，y满足，则zx2y的最大值为（）A5B1C2D3解：画出线性约束区域，所以当直线经过b（3.0）点时，目标
10、函数zx2y有最大值，最大值为3故选：D6已知sin（）sintan1，则tan（）A2B2CD解：因为，所以因为，所以sin+coscos，即sin2cos，所以tan2，故选：A7设an是等比数列，前n项和为Sn，若，则（）ABCD解：设等比数列an的公比为q，由可得：S44S2，整理得：a3+a43（a1+a2），即，解得：q23，故选：B8已知函数ycos（x+）的图象如图所示，其中为正整数，|2，则（）A1，2B1，2C2，4D2，4解：由图象知2，2，为正整数，2，ycos（2x+），把点（2，1）代入ycos（2x+）得，cos（4+）1，则 4+2k+，所以 2k+4，kZ，|
11、2，4故选：C9设抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记AOF和BOF的面积分别为S1，S2，则（）A9B4C3D2解：由题意可知，直线AB的方程为，代入y22px，整理得设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为点A位于x轴上方，所以，所以，故选：C10九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若，台体的体公式为
12、V（S+S），其中S、S分别为台体的上、下底面的面积则“方亭”的上、下底面边长之比为（）ABCD解：设“方亭”的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h，则，故选：A11已知|2，且，的夹角为60，若向量|1，则的取值范围是（）A4，4B2C0，2D0，4解：解法1：取，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且故的取值范围是0，4解法2：不妨设，因为，所以（x2）2+y21，设x2+rcos，yrsin，0r1，R，所以，由于，故故选：D12对任意x，e2，使得不等式（lnxk）x3lnx成立的最大整数k为（）A2B1
13、C0D1解：由题意知（lnxk）x3lnx，有k，令，则，令（x）3lnx+x3，易知其单调递增，因为（2）3ln210，（）3ln3ln0，所以存在，使得（x0）3lnx0+x030，因此在单调递减，在单调递增，所以最大整数k为1，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，则曲线yf（x）在（0，0）处的切线方程为yx解：，则f（0）1，曲线yf（x）在（0，0）处的切线方程为yx故答案为：yx14某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时若某高中学校1000学生中参加该活动
14、时间在30至50小时之间的同学约有300人据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为0.35n解：由题意，40，则XN（40，2），由P（30X50）0.3，可得P（X50）0.35，故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n人故答案为：0.35n15已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为G连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，若k1k2，则双曲线C的离心率为解：已知焦点F1，F2的坐标分别为（c，0），（c，0），其中根据对称性，不妨设点G在渐近线上，则直线F2G的方程为，与联立，得，所以，由，
15、得，化简得c22a2，故故答案为：16钝角ABC的面积是，AC2，BC3，角A的平分线交BC于点D，则AD解：由，得，若角C为锐角，则，此时AB2AC2+BC22ACBCcosC10，即，由于ABBCAC，则ABC为锐角三角形，不符合题意故C为钝角，此时，AB2AC2+BC22ACBCcosC16，故AB4在ACD中，由正弦定理得，同理，在ABD中，而在ABC中，由于CADBAD，故，由于BC3，故CD1，所以AD2AC2+CD22ACCDcosC6，所以故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考
16、生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an满足a1，n（n+1）anan1+（n+1）annan10，n2，nN（）求证：数列为等差数列；（）设数列（2n+1）an2的前n项和Sn.证明：Sn1【解答】证明：（），数列是首项为1，公差为1的等差数列； （）由（）知：，所以18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心（）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值【解答】（）证明：如图1，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接
17、AD，A1D1，DD1，根据棱柱的性质可得，所以，所以四边形ADD1A1是平行四边形，所以O1O2平面ADD1A1因为O1O2与DD1相交，所以O1O2与AA1相交 （）解：因为四面体A1ABC是正四面体，O1是ABC的中心，所以A1O1平面ABC，AO1BC 所以以O1为坐标原点，方向分别为x轴，z轴正方向，|AB|为单位长度，建立空间直角坐标系O1xyz易得，B，C，A1，B1，C1，O2所以，所以，故是平面BCC1B1的法向量又是平面ABC的法向量，设平面BCC1B1与平面ABC所成的锐二面角为，则 19某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易
18、到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、，且各题回答正确与否相互之间没有影响（）求小强同学前三道题都答对的概率；（）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（）求小强同学能通过比赛的概率解：（）小强同学前三道题都答对的概率（）X可
19、能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19答题得分情况如下：初始分ABCD累计得分能否通过比赛对错得分（1分）对错得分对错得分对错得分1011131616能101113111717能1011131199否10119121818能10119121010否1011977否10810131919能10810131111否1081081414能10810866否10866否随机变量X的分布列为：X67910111416171819P（）小强同学能通过比赛的概率为：20设F1，F2分别为椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知PF1F2的面积为，cosF1PF2
20、（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解：（）设|F1F2|2c，则PF1F2的面积等于，所以由cos2OPF2，即，得因为在直角OPF2中，|OP|b，|OF2|c，所以，所以 由及a2b2+c2，得 ，b1，所以椭圆C的标准方程为 （）因为直线PF2的斜率为，所以可设直线l的方程为，代入，整理得由，得m2设，则，若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则，即，得，所以，得因为，所以所以存在满足条件的直线l，方程为或21已知函数f（x）x2+xln（ax+b），
21、aR，a0（）当a1，b0时，求证：f（x）；（）若f（x）x2恒成立，求ab的最大值解：（）证明：当a1，b0时，f（x）x2+xlnx，所以，x0，所以当x时，f（x）0；当0x时，f（x）0，所以当且仅当时，f（x）有最小值，因为，f（）+ln2（ln41）0，所以f（x）；（）f（x）x2恒成立，即xln（ax+b）0，且要求ax+b0，所以exaxb，若a0，对任意的实数b，当x0且时，由于0ex1，ax+b1，故不等式exaxb不成立若a0，设g（x）exax，则g（x）exa当x（，lna），g（x）0，当x（lna，+），g（x）0，从而g（x）exax在（，lna）上单调递减
22、，在（lna，+）单调递增，故g（x）exax有最小值g（lna）aalna，因此baalna，所以aba2a2lna，设h（a）a2a2lna（a0），则h（a）a（12lna），所以h（a）a2a2lna在上单调递增，在上单调递减，从而h（a）a2a2lna的最大值为，当，时，取等号，故ab的最大值为（二）选考题：共10分请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，常数r0）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线C2的极坐标方程为28sin+15
23、0（）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（）若r1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值解：（）曲线C1的普通方程为x2+y2r2（r0），曲线C2的普通方程为x2+（y4）21若C1与C2有公共点，则，所以3r5（）设P（cos，sin），由，得|PQ|2cos2+（sin4）21168sin1688当且仅当sin1时取最大值，故|PQ|的最小值为选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x）|3x+1|+|x2|（）解不等式：f（x）5；（）若关于x的不等式f（x）x2+m在0，3上恒成立，求实数m的取值范围解：（）由|3x+1|+|x2|5得，或或，解得x1或1x2或x2，故不等式f（x）5的解集为（，1）（1，+）（）由题意知，当x0，3时，|3x+1|+|x2|x2+m恒成立若0x2，则3x+1+2xx2+m，可得m（x2+2x+3）min3；若2x3，则3x+1+x2x2+m，m（x2+4x1）min2综上可知，实数f（x）的取值范围是（，2
