1、2021届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1设全集UR，集合Ax|x2，Bx|x1，则集合（）B（ ）A（，2）B2，+）C（1，2）D（，1）2，+）【答案】D【分析】先求出，再求（）B得解.【详解】UR，Ax|x2，Bx|x1，x|x2，（）B（，1）2，+）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）ABCD【答案】A【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为，所以，则故复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按
2、照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3（ ）ABCD【答案】C【分析】由两角差的余弦公式可得原式，计算可得【详解】解：由两角差的余弦公式可得故选：C4若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性质将分别与与比较即可【详解】，故选：A5函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】D【分析】本题首先可通过函数的奇偶性排除A、B选项，然后取，此时，排除C项，即可得出结果.【详解】因为，所以函数是奇函数，排除A、B选项，当时，排除C项，故选：D.【点睛】本题考查函数图像的判定，可通过函数的奇偶性、周期性、单调性、取特殊值等方式进行选项排除，考查推理能力，是简单题.6已知抛物线的焦点
3、在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则等于（ ）ABCD【答案】D【分析】首先根据已知条件求出抛物线方程，然后将点带入，求出，进而根据两点间的距离公式即可求出.【详解】由题意设抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，由抛物线的性质可得，即，所以抛物线的的方程为，将点带入抛物线的方程可得，所以.故选：D.7已知球面上三点，是球心.如果，且球的体积为，则三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【分析】求出三角形的外接圆的半径，再由球的体积求得球的半径，由勾股定理求球心到平面的距离，则三棱锥的体积可求【详解】解：由，可得为正三角形，设其中心为，可得其外接圆的半径，再设球的球心为，
4、半径为，连接，由球的体积为，得，得，球心到平面的距离为，又，故选：8在中，角的对边分别为若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知及正弦定理，余弦定理可得，利用余弦定理，基本不等式即可计算得解【详解】解：，由正弦定理及余弦定理得：，可得：，又，当且仅当，即时取等号，即的最小值为故选：9记函数，若不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】判断的奇偶性和单调性，原不等式化为在，恒成立，运用参数分离和二次函数的值域，可得所求范围【详解】解：函数，由，可得为奇函数，又，由，可得，在上递增，由，即，可得，即为在，恒成立，也即在，恒成立，由在，递增，可得的值域为，则，即，
5、故选：10先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值.【详解】由题意可知，则函数的最大值为，最小值为，又的最大值为，所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合，故应平移个单位，所以，得，故只有C选项符合.故选：C.【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数的解析式；（2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合.11众所周知的“太极图”，其形状如
6、对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为；若点，为圆过点的直径，线段是圆所有过点的弦中最短的弦，则的值为.其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用几何概型的概率公式可判断的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断的正误；求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运
7、算可判断的正误.【详解】对于，设黑色部分区域的面积为，整个圆的面积为，由对称性可知，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为，故正确；对于，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，下方白色小圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如下图所示：由图可知，直线与与白色部分无公共点，故错误；对于，黑色阴影部分小圆的方程为，设，如下图所示：当直线与圆相切时，取得最大值，且圆的圆心坐标为，半径为，可得，解得，由图可知，故，故正确；对于，由于是圆中过点的直径，则、为圆与轴的两个交点，可设、，当轴时，取最小值，则直线的方程为，可设点、，所以，所以，故正确.故选：C.【点睛】方法点
8、睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.12已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【分析】如下
9、图，因为对角线互相平分且，所以四边形为矩形，可得和均为直角三角形，然后利用双曲线的定义和勾股定理，即可构造出齐次等式，进而即可求出该双曲线的离心率.【详解】如图，因为对角线互相平分且，所以四边形为矩形，设，则，又由， 可得，所以，在中，得，所以，又因为在中，即，所以得离心率故选：D【点睛】本题考查双曲线的几何性质，求离心率、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系，掌握常用变形技巧，有助于提高解题准确度，属于中档题.二、填空题13已知实数，满足约束条件，则的最小值为_【答案】4【分析】作出可行域作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】作出
10、不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x+2y=0并平移，由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(0，2)时，z=3x+2y取得最小值，即zmin=30+22=4.故答案为：414随机变量服从正态分布N(1,2)，已知P(0)=0.3，则P(2)=_.【答案】0.7【详解】随机变量服从正态分布N(1,2)，曲线关于x=1对称，P(2)=0.3，P(2)=10.3=0.7点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为_.【答案】2
11、70【分析】首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.【详解】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，所以展开式的通项，令，得，所以常数项为.故答案为：270.【点睛】对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.16已知矩形中，沿对角线将三角形折起，使得点在平面上的射影在线段上，此时的值是_【答案】【分析】设点在平面上的射影在线段上为，由平面，可得，又，可得平面，可得，然后求解三角形可得，设，则，由于，解得的值，可得的值，即可求解的值【详解】解：设点在平面上的射影在线段上为
12、，则平面，又，且，平面，可得，在中，由，可得；设，则，即，解得，可得故答案为：三、解答题17已知数列是一个等差数列，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足:.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为求证:【答案】（1），；（2）见解析.【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则.由题意，求出，即求；（2）由（1）写出，错位相减法求出，即证.【详解】（1）为等差数列，设公差为，.为等比数列，设公比为，则，.（2）由（1）得，得，.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，属于中档题.18如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面,是的中点.（1）.求证
13、:平面平面;（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析：（） 平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面（）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则于是设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为19在平面直角坐标系中，已知，
14、直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的方程为，的内切圆的面积最大值为.【分析】（1）设点，根据得到模长关系，由此得到关于的等式即为轨迹方程；（2）利用内切圆的半径分析出的面积最大时，对应的内切圆半径最大从而内切圆面积最大，再根弦长公式以及点到直线的距离表示出，并利用导数计算出的最大值，从而内切圆半径最大值可求，则的内切圆的面积最大值可求.【详解】解：（1）设动点，
15、则，由，则，化简得：.所求曲线的方程为.（2）设，不妨令，设的内切圆半径为，则的周长为，由此可知，当的面积最大时，的内切圆面积最大，可设直线的方程为，联立，得：，则，令，则，令，则，当时，恒成立，则在上单调递增，即的最小值为4.，即当时，的面积最大为3，此时，的内切圆的最大半径为，所以，的内切圆的面积取得最大值为.故直线的方程为，的内切圆的面积最大值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的思路：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积
16、表示为（为内切圆半径）.20已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得增减区间；（2）不等式变形为，令，由的单调确定其有唯一零点，得出为极小值点，也是最小值点，证明最小值即得【详解】（1）由题意知，函数的定义域为由已知得当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为当时，由，得，由，得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为综上，当时，函数的单调递增区间为，时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）当时，不等式可变为.令，则，可知函数在单调递增，.而，所以方程在上存在唯一实根，即
17、当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以即在上恒成立，所以对任意成立.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题把不等式化简后，引入新函数，由导数得出新函数的最值，证明最值符合不等关系即可证原不等式这里对导函数的零点不能求得具体数，可以得出其存在性，得出其性质（范围），然后利用导数的零点化简原函数的最值，以证结论21某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验
18、结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；（2）若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.参考数据：，【答案】（1）分布列见解析，；（2）答案见解析；11.【分析】（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列
19、出分布列，然后计算期望即可.（2）设方案总费用为Y，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可. 根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.【详解】（1）X的可能值为1和，所以随机变量X的分布列为：X1P所以.（2）设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，所以方案二总费用的数学期望为：，又，所以，又方案一的总费用为，所以，当时，又，所以，所以该单位选择方案二合理.由知方案二总费用的数学期望，当时，又方案一的总费用为，令得：，所以，即，即，所以，设，所以，令得，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以k的最大值为11.【点睛】本题考查概率与导数的综合，本题考查
20、阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.22若以平面直角坐标系的原点为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）若直线的参数方程为(为参数)，当直线与曲线相交于两点，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果【详解】曲线的直角坐标系方程为直线的参数方程为代入得则因为在直线上所以23已知函数.（1）解不等式：；（2）设时，的最小值为.若正实数满足，求的最大值.【答案】(1) . (2) 最大值为.【分析】（1）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；（2）由绝对值的三角不等式，求得的最小值，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；综上，不等式的解集为.（2）由所以的最小值，因为，可得，当且仅当取等号.所以，当且仅当取等号.故的最大值为.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
