1、2021届湖南省高三下学期三模数学试题一、单选题1已知集合，则( )ABCD【答案】D【分析】先化简集合M和集合N，再对M，N求交集得解.【详解】因为，所以故选：D2已知在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意知，进一步求出答案.【详解】由题意知，所以故选：A.3每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ）A20家B10家C15家D25家【答案】A【分析】确定抽样比，即可得到结果.【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食
2、加工品店需要被抽检（家）.故选：A.4已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ）ABCD【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C5周髀算经是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）A五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸【答案】B【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组
3、成了等差数列，其中，结合等差数列的通项公式，可求公差，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为，由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以 为等差数列，设公差为，由题意知，解得，则.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列.6为双曲线（，）上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（ ）ABC2D【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得，由此求得双曲线的离心率.【详解】由，以及正弦定理可得，因为，所以，因为，所以，所以，在中，
4、.化简可得，所以的离心率.故选：B7在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（ ）ABCD以上三种情况都有可能【答案】B【分析】分别计算和，再比较大小.【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率方法二：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率，则故选：B.【点睛】概率计算的不同类型：（1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、
5、乘法公式求概率；（3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.二、多选题8在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）A二项式系数和为64B各项系数和为64C常数项为D常数项为135【答案】ABD【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证：求出n=6，得到二项展开式的通项公式，对于A: 二项式系数和为,可得；对于B:赋值法，令，可得；对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；展开式的通项为，
6、令，得，因此，展开式中的常数项为故D正确.故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析9已知函数.（ ）A当时，的极小值点为B若在上单调递增，则C若在定义域内不单调，则D若且曲线在点处的切线与曲线相切，则【答案】BC【分析】A选项用极值点的概念进行判断，B选项由利用分离常数法来判断，C选项结合以及对进行分类讨论来进行判断，D选项通过曲线在点处的切线方程求得来进行判断.【详解】的定义域为，.根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A错误；由得，因为，所以，B 正确；因为，当时，恒成立，当时，不恒成立，函数不单调，C正确；，所以，所以切线方程为，即，设切点横坐标为，
7、则，故，切点，代入得，D错误.故选：BC【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.10如图，在平行四边形中，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）A平面平面B三棱锥四个面都是直角三角形C与所成角的余弦值为D过的平面与交于，则面积的最小值为【答案】ABD【分析】先根据勾股定理判断，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C，由点到的距离可判断D.【详解】中，由余弦定理可得，故，所以，因为平面平面且平面平面，所以平面，；同理平面，因为平面，所以平面平面，A，B正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
8、，则，因为，所以，即与所成角的余弦值为，C错误；因为在线段上，设，则，所以点到的距离，当时，取得最小值，此时面积取得最小值，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题中D较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的，进而坐标化得最值.11已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有（ ）AB若，则C若，则D若在上单调递减，则【答案】BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数，再结合选项一一判断即可【详解】因为，其中，因为的最小正周期为，所以，故A错误因为对任意的，恒成立，以是的最小值若，则，所以，故B正确因为是的最小值，所以为最大，所以，所以，故C正确因为当时，所
9、以因为在上单调递增，所以在上单调递减当时，所以因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以，故D正确故选：BCD三、填空题12已知单位向量，满足，则与的夹角为_【答案】（或写成）【分析】将等式两边平方即可.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.13函数概念最早出现在格雷戈里的文章论圆和双曲线的求积（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量，而所对应的函数值可以通过得到，并且对另一个量，若，则都可以得到.根据自己所学的知识写出一个能够反映与的函数关系式：_.【答案】（单调递增的指数函数都可以）.【
10、分析】若，得（c），满足（c）（a）（b），且在上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以【详解】解：若，得，而，即，则成立，又由在上是增函数，而，则成立，结合与的函数关系式为：.故答案为：（单调递增的指数函数都可以）.14数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是_.“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；三组对棱长度分别为，的“等腰四面体”的外接球直径为.【答
11、案】【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，与之对应的长方体的长宽高分别为，则，故，结合图像易得正确；三组对棱长度分别为，则，因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积，正确；三组对棱长度分别为，的“等腰四面体”的外接球直径，错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.四、双空题15直线与圆相交于，两点，则的最小值为_；此时_.【答
12、案】 . 【分析】判断出直线恒过定点，根据圆的几何性质求得弦长的最小值，进而求得的值.【详解】直线恒过定点，当圆心与点的连线与直线垂直时，弦长最小，圆心与点间的距离为，半径为3，弦长的最小值为.圆心与点连线的斜率为，此时直线的斜率为1，由，解得.故答案为：；五、解答题16已知数列an满足，a2-a1=1.（1）证明：数列是等比数列；（2）若a1=，求数列an的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用证得结论成立.（2）利用累加法求得的通项公式.【详解】（1）依题意，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以，所以.即.17，分别为内角，的对边.已
13、知， .（1）若，求；（2）求.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，然后求得，利用余弦定理求得.（2）由（1）求得，由此进行分类讨论，求得的值，进而求得的hi.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以为锐角，可得，由余弦定理可得.（2）由（1）可知，当时，可得；当 时，可得.【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求值时，要注意可能有两个解.18为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也
14、是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗总计160200（1）求列联表中的数据，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果
15、总和为，求的分布列和数学期望.0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：，因为.所以有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲
16、乏症状时，；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，；当这3人中没有人有疲乏症状时，.因为；.所以的分布列如下：101316期望.19已知是数列的前项和，（1）证明：数列是等比数列；（2）求【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由可得，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得，即，再利用累加法求出，然后利用分组求法求出【详解】（1）证明：因为，所以，即因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列（2）解：由（1）知因为，所以所以，故【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得
17、，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出，属于中档题20如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证；（2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】（1）如图，在梯形中，因为，作于，则，所以，所以，连结，由余弦定理可求得，因为，所以，因为平面平面且交于，所以
18、平面，因为平面，所以，因为，所以平面；（2）连结，由（1）可知，平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为平面，所以在平面内的射影为，所以与平面所成的角为，即，在中，因为，所以，则，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，由图可知，二面角锐二面角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键.21已知函数，.
19、（1）讨论的单调性；（2）若函数存在两个极值点，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对求导，然后结合极值存在条件可转化为有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数，结合导数与单调性关系进而可求【详解】解：（1），当时，恒成立，函数在上单调递减，当时，易得当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，（2），所以，因为存在两个极值点，所以有两个不等正实数解，即有两个不等式正根，所以，
20、解得，因为，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，令，故在上单调递增，且，故当时，即，故的范围.【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.22已知椭圆的右焦点为，离心率（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则因为，点到直线的距离，所以，即到的距离与到直线的距离之比为定值（2）因为，所以，即椭圆的方程为假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，设，则，因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数，即，所以，因为与无关，所以故在轴上存在一点，使得轴始终平分【点睛】关键点睛：由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键.
