1、2021北京西城高三一模数 学2021.4本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合Ax | x1，B1，0，1，2，则AB（A）2（B）1，2（C）0，1，2（D）x | x1（2）已知复数z满足，则z的虚部是（A）1（B）1（C）i（D）i（3）在的展开式中，常数项为（A）15（B）15（C）30（D）30（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（A）12（B）（C）16（D）（5）已知函数，则
2、不等式的解集是（A）（0，1）（B）（，2）（C）（2，）（D）（0，2）（6）在ABC中，C90，AC4，BC3，点P是4B的中点，则（A）（B）4（C）（D）6（7）在ABC中，C60，a2b8，sin A6 sin B，则c（A）（B）（C） 6（D）5（8）抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y24x的焦点F发出的两条光线a,b分别经抛物线上的A,B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60，则两条反射光线a和b之间的距离为（A）（B）（C）（D）（9）在无穷等差数列an中，记a1a2a3a4a
3、5(1)n+1，an（n1,2,），则“存在mN*，使得”是“an为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记（X）Mm.下列命题中正确的是（A）已知X1，1，Y0，b，且（X）（Y），则b2（B）已知Xa，a2，Yy|yx2，xX，则存在实数a，使得（Y）1，则n的最大值为_。（14）已知函数f（x）sin x，若对任意xR都有f（x）f（xm）c（c为常数），则常数m的一个取值为_. （15）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每
4、年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：（i）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0，100；（ii）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：； y10； ； 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在正方体ABCDA1B1C
5、1D1中，E为DD1的中点.（I）求证：BD/平面ACE;（II）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值.（17）（本小题13分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组己知条件.（I）确定的解析式:（II）若图象的对称轴只有一条落在区间0，a上，求a的取值范围.条件：的最小值为2；条件：图象的一个对称中心为（，0）；条件：的图象经过点（，1）；注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）天文学上用基等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年
6、的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中a0,1.3星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四*视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46a绝对星等1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85赤纬16.752.760.819.238.8468.25.257.27.4（I）从表中随机选择颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（II）已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时，能在北京的夜空中看到它
7、，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；（III）记a0时10颗恒星的视星等的方差为，记a1.3时10颗恒星的视星等的方差为主，判断与之间的大小关系.（结论不需要证明）（19）（本小题15分）已知函数f（x）ex（lnxa）.（I）若a1，求曲线yf（x）在点（1，f(1)）处的切线方程；（II）若a1，求证：函数（）存在极小值；（III）若对任意的实数x1，），f（x）1恒成立，求实数a的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆C：（a0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，），左顶点为D，右焦点为F.（I）求椭圆C的离心率和DEF的面
8、积；（II）已知直线ykx1与椭圆C交于A，B两点过点B作直线yt（t）的垂线，垂足为G.判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.（21）（本小题15分）已知数列A：a1，a2，aN（N3）的各项均为正整数，设集合Tx|xajai1ijN，记T的元素个数为P（T）.（I）若数列A:1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；（II）若A是递增数列，求证:“P（T）N1”的充要条件是“A为等差数列”；（III）若N2n1，数列A由1.，2，3，n，2n这n1个数组成，且这n1 个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数.2021北京西
9、城高三一模数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）A（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12），（13），3（14）（答案不唯一，只要是即可）（15）注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点,所以. 3分因为平面，平面，所以平面. 5分（）不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.则
10、，所以，. 8分设平面的法向量为，所以 所以 即10分令，则，于是.11分设直线与平面所成角为，则.13分所以直线与平面所成角的正弦值为. （17）（共13分）解：（）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，.2分此时.选条件：因为的最小值为，所以.3分因为图象的一个对称中心为，所以，5分所以，因为，所以，此时.7分所以.8分选条件：因为的最小值为，所以.3分因为函数的图象过点， 则，即，.因为，所以，5分所以，.7分所以.8分选条件：因为函数的一个对称中心为，所以，4分所以.因为，所以，此时.6分所以.因为函数的图象过点，所以，即，所以.7分所以.8分（）因为，所以，因为图
11、象的对称轴只有一条落在区间上，所以，11分得，13分所以的取值范围为.（18）（共14分）解：（）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件. 由图表可知，颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值.所以.3分（）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于. 所以随机变量的所有可能取值为：.4分， . 8分所以随机变量的分布列为： 9分所以.11分（）.14分（19）（共15分）解：（）当时，所以.1分所以，.3分曲线在点处的切线方程为.4分（）由，得，令，则.6分当时，当时，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以的最小值为.7分当时，9分又在单调递增，故存在
12、，使得，在区间上，在区间上.10分所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值. 11分（）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于. 当时，由（）得，所以.所以在上单调递增，所以的最小值为.由，得，满足题意. 13分 当时，由（）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.15分（20）（共15分）解：（）依题意，解得.1分因为 ，即，2分所以 ，所以离心率，的面积.5分（）由已知，直线的方程为. 当，时，直线的方程为，交轴于点；当，时，直线的方程为，交轴于点.若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点.7分下面证明存在实数
13、，使得直线经过轴上定点.联立消整理，得 ，8分设，.则，.10分设点，所以直线的方程：.11分令，得.12分因为，所以.14分所以直线过定点.综上，存在实数，使得直线经过轴上定点.15分（21）（共15分）解：（）因为，所以，.4分（）充分性：若是等差数列，设公差为.因为数列是递增数列，所以.则当时，.所以，.6分必要性：若.因为是递增数列，所以，所以，且互不相等.所以.又，所以，且互不相等.所以，.所以，所以为等差数列. 9分（）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和.共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在集合中. 11分又因为这个数在数列中共出现次，所以数列
14、中存在，所以.综上，且.12分设数列：，此时，.现对数列分别作如下变换：把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.再对数列依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列：，此时，；再把一个移为的后一项：得到数列：，此时，；依此类推最后把一个移为的后一项：得到数列：，此时，.综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.15分感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们
15、一人一个。在上帝带来好光景以前，你们每天都可以来拿一个面包。”瞬间，这些饥饿的孩子仿佛一窝蜂一样涌了上来，他们围着篮子推来挤去大声叫嚷着，谁都想拿到最大的面包。当他们每人都拿到了面包后，竟然没有一个人向这位好心的面包师说声谢谢，就走了。但是有一个叫依娃的小女孩却例外，她既没有同大家一起吵闹，也没有与其他人争抢。她只是谦让地站在一步以外，等别的孩子都拿到以后，才把剩在篮子里最小的一个面包拿起来。她并没有急于离去，她向面包师表示了感谢，并亲吻了面包师的手之后才向家走去。第二天，面包师又把盛面包的篮子放到了孩子们的面前，其他孩子依旧如昨日一样疯抢着，羞怯、可怜的依娃只得到一个比头一天还小一半的面包。当她回家以后，妈妈切开面包，许多崭新、发亮的银币掉了出来。妈妈惊奇地叫道：“立即把钱送回去，一定是揉面的时候不小心揉进去的。赶快去，依娃，赶快去！”当依娃把妈妈的话告诉面包师的时候，面包师面露慈爱地说：“不，我的孩子，这没有错。是我把银币放进小面包里的，我要奖励你。愿你永远保持现在这样一颗平安、感恩的心。回家去吧，告诉你妈妈这些钱是你的了。”她激动地跑回了家，告诉了妈妈这个令人兴奋的消息，这是她的感恩之心得到的回报。
