1、东城区20202021学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 2021.1本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。共10小题，每小题4分，共40分。（1）已知集合，则（A） （B） （C）（D） （2）已知是公差为的等差数列，为其前项和若，则 （A）（B）（C） （D） （3）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是 （A）（B） （C） （D） （4）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧
2、（左）视图为 （A） （B） （C） （D） （5）与圆相切于点的直线的斜率为（A）（B）（C） （D） （6）函数的部分图象如图所示，则 （A）（B）（C） （D） （7）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（A）242种（B）220种（C）200种（D）110种（9）已知抛物线的焦点到准线的距离为，
3、过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则点到轴的距离为（A）5（B）4（C）3（D）2（10）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：10人（含）以上团体购票9折优惠；50人（含）以上团体购票8折优惠；100人（含）以上团体购票7折优惠；购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 （A）1090元（B）1171元（C）1200元（D）1210元第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）复数_（12）函数的定义域是_（13）已知，则_，_（14）已知双曲线，为等边三角形. 若点在轴上，点在双曲线上
4、，且双曲线的实轴为的中位线，则双曲线的离心率为_（15）已知函数,，其中表示不超过的最大整数. 例如：,. _；若对任意都成立，则实数的取值范围是_ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，分别为，的中点.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.（17）（本小题13分）已知函数，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）的最小正周期；（）在区间上的最大值条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题14分）为了解果园某种水果产量情况，随机
5、抽取100个水果测量质量，样本数据分组为100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400(单位：克)，其频率分布直方图如图所示： （）用分层抽样的方法从样本里质量为250，300)， 300，350)的水果中抽取6个，求质量在250，300) 的水果数量；（）从（）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在300，350)的水果数量，求X的分布列及数学期望；（III）果园现有该种水果约20 000个，其等级规格及销售价格如下表所示，质量m(单位：克)m200200m300m300等级规格二等一等特等价格(元/个)4710试估计果园该种水
6、果的销售收入.（19）（本小题15分）已知椭圆过点，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点(,不重合)， 轴，垂足为. 求证：.（20）（本小题15分）已知函数（I）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程（II）若，求证：当时，；（III）若有且只有两个零点，求的值（21）（本小题15分）给定正整数，若数列满足：；，则称数列具有性质. 对于两个数列，定义数列的项为：. （I）设数列具有性质，数列的通项公式为，求数列的前四项和；（II）设数列具有性质，数列满足：且. 若存在一组数列使得为常数列，求出所有可能的值；（III）设数列具有性质，数列满足：，且
7、.若存在一组数列，使得为常数列，求的最小值.（只需写出结论）东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2021.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D （2）C （3）D （4）B （5）A（6）A （7）B （8）C （9）C （10）B二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)（11） （12）（13） （14）（15） 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（共13分） 解：（）因为平面，所以.因为底面是正方形，所以.因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面. .4分（）因为平面，所以，.因
8、为底面是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系.因为，底面为边长为2的正方形，所以，.，.设平面法向量， 由可得 令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为. .13分（17）（本小题13分）解：选择条件：（） 所以的最小正周期是 . 7分 （）因为 ， 所以 . 所以.所以. 当，即时，有最大值. 13分选择条件：.（） 所以的最小正周期是 . 7分 （）因为 ， 所以 . 所以.当，即时，有最大值. 13分（18）（共14分）解：（）质量在250，300)，300，350)的该种水果的频率分别为0.00850=0.4，0.00450=0.2，其比为2：1.所以按分
9、层抽样从质量在250，300)，300，350)的这种水果中随机抽取6个，质量在250，300)的该种水果有4个. .4分（）由(I)可知，6个水果中有2个的质量在300，350).所以X的所有可能取值为0，1，2.，.所以X的分布列为X012P故X的数学期望E(X)=. .10分 （）由频率分布直方图可知，质量在100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.所以估计20 000个水果中，二等品有20000(0.1+0.1)=4 000个；一等品有20 000(0
10、.15+0.4)=11 000个；特等品有20 000(0.2+0.05)=5 000个.果园该种水果的销售收入为4 0004+11 0007+5 00010=143 000(元). . . .14分（19）（共15分）解：（）依题意，得解得. 所以椭圆的方程为. . . 4分（）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为：.由消去，整理得.依题意，有，解得.设，则,.因为ETx轴，所以.所以.又因为，所以. . . .15分（20）（本小题15分）【解析】（I）因为，所以，故所以，所以，所求切线方程为，即.4分（II）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增所以，的极小值，故，. .13分
11、（III）对于函数（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，所以在单调递增；当时，；所以在单调递减；当时，所以在单调递增；所以是的极大值，是的极小值 因为，所以在上有且只有一个零点.由于， 若，即，在没有零点； 若，即，在只有一个零点； 若，即，由于，所以在有一个零点，由（II）知，当时，所以故在有一个零点.因此时，在有两个零点综上，当有两个零点时， .13分（21）（本小题15分）解：（I）数列的前四项和为的前四项和与的前四项和之和，为2+10=12. .4分（II）由题知，数列满足：，所以只需要考虑数列和的前四项.取为；，可使的前四项为，所以成立. 取为；，可使的前四项为，所以成立.取为；，可使的前四项为，所以成立. 当时，前4项只能是，所以不会是常数列；综上. .12分（III）. .15分为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
