1、l 弹性体体积为V，以m代表单元数；n表示结点总数。u表示系统结点位移的列阵。Tznynxnzyxzyxuuuuuuuuuu222111pS 上外力用静力等效的原则化到相应的结点上去,结点载荷列阵为:TznynxnzyxzyxFFFFFFFFFF222111 Tzmymxmziyixieuuuuuuu TeexyzuuuuNu TxyzxyyzzxeeBu TeexyzxyyzzexuDBSu BDS TTeTeuB7 小变形弹小变形弹-塑性有限元法塑性有限元法 7.2.1单元刚度矩阵单元刚度矩阵l 变分原理中积分看成是不同子域积分的总和变分原理中积分看成是不同子域积分的总和,求和的积分各求和
2、的积分各积分求和，故可将变分原理分别用于各个单元积分求和，故可将变分原理分别用于各个单元 VTVUd21 meVeeTeeVU1d21单元总势能泛函 112eeTTeeeeVSdVup d s 112eTTeTeTeeSeVuBdVuNpDud sB 1022eTTeTTeeVTSu(X QX)QXXX QBDB dVuNd sXp eeeFuK有任意性 1TeSFNp d sl 三维问题三维问题 d7.17eTeeVKBDBV 111111d dddddeTTeVKBDBxyzBDB J 1111ddddTTeKBDB txyBDB t J 6 33 33 66 6eeeiiijimTeee
3、ejijjjmeeemimjmmKKKKBDBtAKKKKKKl平面应力平面应力l 二维问题二维问题 21122114 122r sr sr sr sTersrsr sr sr sr sbbc cbccbEtKBD B tAAcbbcc cbbmjismjir,;,l平面应变平面应变1 21 22(1)12(1)(1)1 21 24(1)1 212(1)2(1)rsrsrsrsersrsrsrsrsb bc cb cc bEtKAc bb cc cb b 2(1);(1)EE 21111002ED7.2.2 整体刚度矩阵整体刚度矩阵m个单元n结点弹性体,结点位移是整个集合体的未知量，写成 13
4、 nu 将已知单元结点位移、刚度（影响系数）和结点力放在相应位置上，其余用零充填，然后叠加 TTeTTTTeTnFF0000031 TTeTTTTeTnuu0000031 eneTnennneeTneFuuKu133113333121 meeeTmeeeeTmeeFuuKu11121 011meemeeeeTFuKu meemeeeFuK11 FuK meeKK1 meeFF1平面应力三角形单元集合体的结点位移列阵 12 nu是各结点位移按结点号码从小到大依次排列组成(不相加）TTnTTnuuuu2112 1,2Tixiyiuuuin 121TijmnTeTTeeejnmiF.FFF,Teee
5、ixiyiFFF,TeeejxjyjFFF TeymexmemFFF，单元i,j,m上结点力分块矩阵211meneFF结点力结点力叠加叠加:公共边等效节点力抵消22117 28ennneeeKKKiiijimeeeKKKK.jijjjmeeeKKKmiijmmjmmnijm三角形单元刚度矩阵66扩充 212122eeennnnKuF 221122enennnuFK 2211nneeemmTKBDB td xKdy 除对应除对应 i、j、m行行,i、j、m列上的列上的 九九个双行双列的子矩个双行双列的子矩阵外，其余全是零。阵外，其余全是零。1111111111ijmniijiminjjijmjn
6、mmimjmnnninjniijjmmnnmKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK叠加meersrsKK1221,2,;1,2,rnsn此矩阵是单元刚度矩阵扩到22nn后由于（7.28）中很多位置上子矩阵都为零，（7.30）式不必对全部单元求和只对分块矩阵ersK的下标r=s或r,s属于同一结点号码的那些单元求和。212122117 30mmeennnneeKuF.FuK在同一位置上子矩阵之和。其他摆在相应位置上。K具有如下的性质：1.K中每列元素是某一结点在坐标轴方向发生单位位移，其它结点位移都约束为零时，在所有结点上坐标轴方向需施加的结点力。2.K 的主元素是正的 3.K是对
7、称矩阵。1111mmTTTTesrsrsreemmTersrsrseeKKBDBtABDBtAKK（4）K是一个稀疏阵 只有当下标r=s,或s,r的结点号码同属于一个单元时才不为零.其非零元素呈带状集中分布在主对角线附近。这种矩阵称为带状矩阵 主对角线元素在内的半个斜带中每行元素个数（不是子矩阵数）为半带宽B fdB1d相邻结点编号最大差值，f结点自由度数。1 2 3 4 5 6 s r 1(2)3 4 5 6 1(2)3 4 5 6(a)(b)1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 2 3 4 5 8 9 1 0 1 1 1 2 6 7 (a)(b)3,2;3 128
8、dfB b比a情况可节省存贮单元（5）K是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。meTmeeutABDBuKuK11 1mTTeeeuDKutA只有在每个单元中都有 10mTeeeDtA才有 0,e否则它大于零。整个集合体排除了刚性位移 0e 0u 即 TuKu二次型恒大于零,K为正定阵7.2.3 整体刚度矩阵的修正整体刚度矩阵的修正4321221144434241343332312423222114131211FFFFuuuuKKKKKKKKKKKKKKKKyxyx1123:,xxuu已知置置1法法:3431414332312121221144422422000100000001KKFK
9、KFuuuuKKKKyxyx把上式左端已知位移对应的i行i列的交叉刚度系数（ij）置零，对角线刚度系数（ij）置1，对应的载荷项置已知位移；已知位移对应的行交叉刚度系数乘位移后移至右端与载荷项做代数和。13,置0法置大数置大数法法(K中指定结点位移有关的主对角线元素乘上一个大数)F 中的对应元素换上结点位移指定值与同一个大数的乘积 415333215111221144434241341533323124232221141312151110101010FKFKuuuuKKKKKKKKKKKKKKKKyxyx15151111111211321421010yxyxK uK uKuKKu可忽略!11x
10、u7.2.4 等效结点力按虚功原理单元节点力虚功 dd dTeTTTeeeeuFuGup tluq tx y TTeeTeTTuFuNGNp td lNq td xdy带人插值关系 TeTTeeeFNGNp tdlNq td xdyRQP meeFF1 (eeeeFRPRPQQF单元等效结点力）,eeeRPQ分别为集中力、面力、体力移置到单元结点上得到的等效结点力 集合体载荷列阵 均质等厚的三角形单元，重力引起的等效结点力只需把1/3的重量移置到结点上;作用在长度为的L三角形一个边i,j上强度为p的均布表面力，只需ptL/2把移置到结点i及j上;线性分布载荷，如在结点i处强度为零，在结点j处强
11、度为p，则合力大小为ptL/2，只需将合力的1/3移置到结点i，2/3移置到结点j.p 计算步骤(从略)与技巧（1）对于对称和反对称情况，可取部分物体作为计算模型 R R R R O x y y R x 受纯弯曲的梁（2）集中载荷作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取作为结点。(3)三条边不要差得太悬殊，以免计算中出现过大误差，合理7.3弹弹-塑性有限元塑性有限元-弹弹-塑性矩阵推导塑性矩阵推导 32ij 3(3.48)1dd2Ppjijppidd式 ddepD增量理论由Mises屈服条件(3.17)和Prandtl-Reuss 方程11121112333 ,2
12、2ijij ；塑性应变增量矢量39页等效应变增量 ddddTijijpdd 硬化曲线上硬化曲线上:d2Tpd（）弹塑性共存弹塑性共存:dddep ddeD dd dpTTD 3d)ddpD（dddpTpTDD 21)（ddTpTDD 1 ddTpTDD 3 epdddddTTTTDDDDDDD TpTDDDD 7.34pepDDD6行6列?TGD3123123322113 DDTT？与加载前应力水平有关,与应力增量无关三维变形三维变形Dep表达式 21111221133111211231131222223322122223223122333312332333312212122312312232
13、33123193pGDG 2113311231131111122111222233222322312222122333312332333312122312311211 21 21 211 21 211 2112epSSSSSSSSSSSESSSSDSSS 22323312317.361212SSS 13322GS轴对称变形轴对称变形Dep表达式 222211 21 21 211 21 27.38111 212zzzrzzrrrrzrepzrzrSSSSESSSDSSS 122222327.392zrzr11,z22,r33,12,zr23310rz Tzrrzddddd Tzrrzddddd平
14、面应力平面应力Dep表达式 3323310;21222112222113 211221122221111221222211221112222121111pEDQ GQ91212222122211222211 2112222112212222111112222127.431212 19epEDEPPPQR 1922122EP22222112112R关于平面应变问题的弹塑性矩阵Dep可用（7.43）直接得到，只需将2(1),(1)EE硬化曲线的斜率硬化曲线的斜率dd1pfffE简单拉伸曲线的斜率 7.4 弹弹-塑性有限元的变刚度法塑性有限元的变刚度法 7.51epD（7.31）写成差分写成差分无关
15、!线性关系位移插值函数、位移-应变的几何关系与弹性变形时相同 相同计算格式 7.52KuF 结点载荷增量结点载荷增量 位移增量位移增量 插值关系:110mmeeTeeeeuKuF 110mmeeeeeKuF epD epD euB eepuBD epTeTTDBu按增量理论最小势能原理 meeeTmeVeTuFVe11d21 111d2eTeTeeTeemmeeepVuBDBuVFu 1112mmeeeTeeTeeuKuuF0 7.52KuF meeKK1 meeFF1 eVeepTeVBDBKd eVeTeVBDBKd已屈服的单元未屈服的单元计算过程:若物体开始屈服时的应力、应变和结点位移分
16、别为再加载(F1)时,Dep,K0用0来计算。然后求解方程组000,;u 1107.53KFu，111u 求出得到第一次载荷增量后位移应变应力的新水平:010101111,uuu继续加载重复上述计算，直到全部载荷加完为止,写成计算机通式:1111iiiiiiiiiiiiKuFuuu 由于每次加载与计算必须重新计算刚度矩阵，故这种方法称为变刚度法。epepDmDmD1 eVeepTeVBDBKd)10(,mms对过渡单元计算步骤从略变分法与有限元解析思想的主要差别为：变分法设定的温度函数要满足整个区域所以往往选择含有三角函数的复杂形式的多项式；而有限元已经把整个区域划分为许多小块，尽管函数在中分布很复杂，但在一个单元小块中却可近似地看作简单的线性分布，只要单元足够小，这种线性插值函数的误差也就很小。
