1、专题25 正方形问题1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴；(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻
2、边相等的矩形是正方形。二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S=【例题1】(2020台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为 (用含a，b的代数式表示)【对点练习】(2019广西贺州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分BAE交BC于点F，将ADE绕点A顺时针旋转90得ABG，则CF的长为 【例题2】(2020青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线
3、AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G若DE2，OF3，则点A到DF的距离为 【对点练习】(2019内蒙古包头)如图，在正方形ABCD中，AB1，点E，F分别在边BC和CD上，AEAF，EAF60，则CF的长是()ABC1D【例题3】(2020湘西州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE(1)求证：BAECDE；(2)求AEB的度数【对点练习】(2019湖南株洲)如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG(1)求证：DOGCOE；(2)若DGBD，正方形ABCD的边长
4、为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长一、选择题1(2020河南)如图，在ABC中，ACB90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(2，6)和(7，0)将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A(32，2)B(2，2)C(114，2)D(4，2)2(2020湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A1和1B1和2C2和1D2和23(2020温州)如
5、图，在RtABC中，ACB90，以其三边为边向外作正方形，过点C作CRFG于点R，再过点C作PQCR分别交边DE，BH于点P，Q若QH2PE，PQ15，则CR的长为()A14B15C83D654(2020南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D若P的半径为5，点A的坐标是(0，8)则点D的坐标是()A(9，2)B(9，3)C(10，2)D(10，3)5.(2020天津)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A(6，3)B(3，6)C(0，6)D(6，
6、6)二、填空题6(2020连云港)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3，9)、(12，9)，则顶点A的坐标为 7(2020绍兴)如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 8(2020天水)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 9(2020德州)如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D处，再将AED绕点E顺时针旋转，得到AED
7、，使得EA恰好经过BD的中点FAD交AB于点G，连接AA有如下结论：AF的长度是6-2；弧DD的长度是5312；AAFAEG；AAFEGF上述结论中，所有正确的序号是 10(2020攀枝花)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH给出下列结论：AFDE；DG=85；HDBG；ABGDHF其中正确的结论有 (请填上所有正确结论的序号)11(2020咸宁)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
8、ABEECG；AEEF；DAFCFE；CEF的面积的最大值为1其中正确结论的序号是 (把正确结论的序号都填上)12(2020河南)如图，在边长为22的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 三、解答题13(2020遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A、C不重合)，连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G(1)求证：EFDE；(2)当AF2时，求GE的长14(2019湖南湘西州)如图，在正方形ABCD中
9、，点E，F分别在边CD，AD上，且AFCE(1)求证：ABFCBE；(2)若AB4，AF1，求四边形BEDF的面积15.(2020湖北仙桃模拟)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BECF，过点E作EGBF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF求证：(1)AEBF；(2)四边形BEGF是平行四边形16(2019山东泰安)如图，四边形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且CEF90，FGAD，垂足为点C(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由17.(2019四川省凉山州)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F求证：OEOF
