1、极值点偏移的问题专题6.设函数，其图象与轴交于，两点，且（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点C在函数的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记，求的值【解】（1）若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾所以，令，则当时，是单调减函数；时，是单调增函数；于是当时，取得极小值 因为函数的图象与轴交于两点，(x1x2)，所以，即.此时，存在；存在，又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. （2）因为 两式相减得 记，则，设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以又是单调增函数，且所以 （3）依题意有，则于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90，所以，即，由直
2、角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，所以，即 因为，则，又，所以， 即，所以 7.已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（）如果，且，证明（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1
3、)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.8. 已知函数 （12分）（I）讨论f(x)的单调性；（II）设a0，证明：当时，；（III）若函数y= f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0时f(x) f(x)即可。10.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：解（1） 函数在,1是增函数，在1,2是减函数，3分所以 4分（2）因为，所以， 5分因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，由，有=，（） 6分又当时，有重根， 7分综上 8分（3），又有两个实根，两式相减，得， , 10分于是 11分要证：，只需证：只需证：(*) 12分令，(*)化为 ，只证即可 在（0，1）上单调递增，即14分
