1、2021-2022年高三数学一模试卷（理科）含解析一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A0B1CD22在方程（为参数）所表示的曲线上的点是（）A（2，7）B（，）C（，）D（1，0）3设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4=2（a2+a3），则=（）ABC7D144将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象则函数g（x）的一个增区间是（）A（，）B（，）C（，）D（0，）5使“ab”成立的一个充分不必要条件是（）Aab+1B1Ca2b2Da3b36下列函
2、数：y=；y=（x1）3；y=log2x1；y=（）|x|中，在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）ABCD7某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A6B8C10D128远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A336B510C1326D3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在（1x）5的展开式中，x2的系数为_（用数字作答）10己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=_11若双曲
3、线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率e=_12为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m，平均数为，则me，m，之间的大小关系是_13已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于_，ABD的面积等于_14已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n2，nN*）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值是_；若n=2，则的最大值等于_三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，在四边形
4、ABCD中，AB=4，AC=2，cosACB=，D=2B（）求sinB；（）若AB=4AD，求CD的长16xx，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市排名城市得分排名城市得分1深圳90.21杭州93.72珠海89.82拉萨93.53烟台88.33深圳93.34惠州86.54青岛92.25信阳83.15大连92.06厦门81.46银川91.97金华79.27惠州90.68柳州77.88哈尔滨90.39扬州75.99信阳89.310九江74.610烟台88.8（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数
5、分别为与，方差分别为S12，S22，试比较与，S12，S22的大小；（只需要写出结论）（）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点（）求证：AM平面PCD；（）求证：平面ACM平面PAB；（）若PC与平面ACM所成角为3
6、0，求PA的长18已知函数f（x）=lnx+ax2（2a+1）x，其中a0（）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）当a0时，判断函数f（x）零点的个数（只需写出结论）19已知椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q（）求椭圆G的方程；（）若直线AB，CD的斜率均存在，求的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点20数列an是由1，2，3，xx的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B=x|x=an+i，n=0，1，2，xxm（）若m
7、=8，求B中元素的最大值；（）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列an，若不能，说明理由m=8，n=8k，k=0，1，2，251；m=3，n=3k，k=0，1，2，671（）对于数列an，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值xx北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A0B1CD2【考点】复数求模【分析】化简复数z，求出它的模长即可【解答】解：复数z=i（1+i）=1+i，|z|=故选：C2在方程（为参数）所
8、表示的曲线上的点是（）A（2，7）B（，）C（，）D（1，0）【考点】参数方程化成普通方程【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可【解答】解：cos2=12sin2=12x2=y方程（为参数且R）表示x2=（1y）将点代入验证得B适合方程，故选：C3设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4=2（a2+a3），则=（）ABC7D14【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：a4=2（a2+a3），a4=2（a1+a4），则=7故选：C4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图
9、象则函数g（x）的一个增区间是（）A（，）B（，）C（，）D（0，）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）=sin2（x+）=cos2x的图象令2k2x2k，求得kxk，函数g（x）的增区间是k，k，kZ，可得函数g（x）得一个增区间为（，），故选：B5使“ab”成立的一个充分不必要条件是（）Aab+1B1Ca2b2Da3b3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义
10、进行判断即可【解答】解：A若ab+1，则ab成立，即充分性成立，反之若ab，则ab+1不一定成立，即ab+1是“ab”成立的一个充分不必要条件，B当b0时，由1得ab，则ab不成立，即1不是充分条件，不满足条件C由a2b2得ab或ab，则a2b2不是充分条件，不满足条件D由a3b3得ab，则a3b3是ab成立的充要条件，不满足条件故选：A6下列函数：y=；y=（x1）3；y=log2x1；y=（）|x|中，在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）ABCD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据反比例函数的单调性，指数函数的单调性，单调性定义，以及函数零点的定义便可判断每个函数是否
11、满足条件，从而找出正确选项【解答】解：反比例函数在（0，+）上是增函数；x0时，；该函数不存在零点；y=（x1）3，x=1时，y=0；即该函数在（0，+）上存在零点；y=log2x1，x=2时，y=0；即该函数在（0，+）上存在零点；x（0，+）时，；为减函数，在（0，+）上为增函数；x0；函数在（0，+）上无零点；在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是故选A7某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A6B8C10D12【分析】由三视图和三视图之间的关系求出俯视图的长、宽，由三角形的面积公式求解即可【解答】解：根据正视图和侧视图，画出俯视图如图所示：其中虚线是
12、边长为4的正方形，两个顶点是边的中点，所以俯视图的面积S=6，故选：A8远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A336B510C1326D3603【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为173+372+27+6=510故选：B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在（1x）5的展开式中，x2的系数为10（用数字作答）【考
13、点】二项式定理【分析】求出通项，化简，取r值，得到所求【解答】解：（1x）5的展开式的通项为，零r=2，得到x2的系数为（1）2=10；故答案为：1010己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=9【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可【解答】解：向量=（l，2），=（x，2），且丄（），可得（1，2）（1x，4）=0即9x=0，解得x=9故答案为：911若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率e=【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得b=2a，由a，b，c的关系和离心
14、率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为：y=x，由一条渐近线方程为x2y=0，可得=，即b=2a，即有c=a，可得e=故答案为：12为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m，平均数为，则me，m，之间的大小关系是mme【考点】频率分布直方图【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小【解答】解：由图知众数m=5由中位数的定义知，得
15、分的中位数为me，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，me=5.5，=（23+34+105+63+37+28+29+210）=5.97，mme，故答案为：mme13已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于，ABD的面积等于【考点】圆的切线方程【分析】直接利用已知结合切割弦定理求得CD；求解直角三角形求得sinDOB，然后代入三角形面积公式求得ABD的面积【解答】解：如图，AB=1，BC=1，AC=2，由切割弦定理可得：CD2=BCAC=12=2，连接OD，则ODCD，在RtODC中，
16、由CD=，OC=，得sinDOC=，=故答案为：，14已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n2，nN*）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值是3；若n=2，则的最大值等于4【考点】分段函数的应用【分析】作出f（x）的图象，利用=k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图： =k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率，由图象知过原点的直线和f（x）最多有3个交点，即n的最大值是3，若n=2，则直线与f（x）有两个交点，则当过原点的直线y=kx的斜率k=0，或者y=kx与f（x）在1x3相切时的斜率，其中
17、的最大值为y=kxf（x）在1x3相切时的斜率，将y=kx代入y=x2+4x3，得kx=x2+4x3，即x2+（k4）x+3=0，由判别式=（k4）212=0得k4=，即k=4，方程的根x=（1，2），0k2，则k=4，故的最大值等于4，故答案为：3，4三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=2，cosACB=，D=2B（）求sinB；（）若AB=4AD，求CD的长【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】（）运用同角的平方关系，可得sinACB=，再由正弦定理，计算即可得到sinB；（）求得AD=1，由D=2B，可得
18、cosD=cos2B=12sin2B=，再由余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：（）由cosACB=，ACB（0，），可得sinACB=，由正弦定理可得， =，即=，解得sinB=；（）由AB=4，AB=4AD，可得AD=1，由D=2B，可得cosD=cos2B=12sin2B=12=，由余弦定理可得，cosD=，即有=，即为3CD2+2CD33=0，解得CD=3或舍去16xx，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市排名城市得分排名城市得分1深圳90.21杭州93.72珠海89.82拉萨93.53烟台88.33深圳
19、93.34惠州86.54青岛92.25信阳83.15大连92.06厦门81.46银川91.97金华79.27惠州90.68柳州77.88哈尔滨90.39扬州75.99信阳89.310九江74.610烟台88.8（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为与，方差分别为S12，S22，试比较与，S12，S22的大小；（只需要写出结论）（）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中
20、国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）由题意利用表格能比较与，S12，S22的大小（）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个，由此能求出选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望【解答】解：（）由题意，（）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有
21、4个：深圳，惠州，信阳，烟台，选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率P（A）=（）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PEX=17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点（）求证：AM平面PCD；（）求证：平面ACM平面PAB；（）若PC与平面ACM所成角为30，求PA的长【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（I）取PC的中点N，连接MN，CN，则可证四边形ADNM是平行四边形，于是AMDN，从而有AM
22、平面PCD；（II）利用勾股定理及余弦定理计算AC，AB可得出AC2+AB2=BC2，于是ACAB，由PA平面ABCD得出PAAC，于是AC平面PAB，从而得出平面MAC平面PAB；（III）以A为原点建立空间坐标系，设P（0，0，a），求出和平面ACM的法向量，令|cos|=sin30解出a，得出|PA|【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DNM，N是PB，PC的中点，MNBC，又ADBC，MNAD，四边形ADNM是平行四边形，AMDN，又AM平面PCD，CD平面PCD，AM平面PCD（II）PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAACAD=CD=1，ADCD，ADBC，AC=，D
23、CA=BCA=45，又BC=2，AB=AC2+AB2=BC2，ACAB又PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A，AC平面PAB，又AC平面ACM，平面ACM平面PAB（III）取BC的中点E，连接AE，则AEAD以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（，）（a0）=（1，1，0），=（，），=（1，1，a）设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则令x=1得=（1，1，）cos=PC与平面ACM所成角为30，=解得a=|PA|=18已知函数f（x）=lnx+ax2（2a+1）x，其中a0（）当a=2
24、时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）当a0时，判断函数f（x）零点的个数（只需写出结论）【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出a=2时的函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出函数的导数，求出f（x）的定义域，讨论当a0时，当a=，当0a时及当a时，通过解方程求出两根，讨论导数大于0，小于0，求出函数的单调区间；（）根据（）求得单调性即可判断f（x）零点的个数【解答】解：当a=2时，f（x）=lnx+2x25x，f（x）=+4x25，则：f（
25、1）=3，f（1）=0，切线方程为：y+3=0，（）f（x）的定义域为：x丨x0，f（x）=+2ax（2a+1）=，令f（x）=0，x1=1，x2=，当a0时，令f（x）0，得0x1，令f（x）0，得x1，f（x）的增区间为（0，1），f（x）的减区间为（1，+）；当a=，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）单调递增；当0a时，f（x）0，解得0x1或x；f（x）0，得x1，f（x）的增区间为（0，1），（，+），f（x）减区间为（1，）；当a时，f（x）0，解得：x1或0x，f（x）0，解得：x1，f（x）的增区间为（0，），（1，+），f（x）减区间为（，1）；（）当a0时，函数f（x）
26、零点为119已知椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），过F作两条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q（）求椭圆G的方程；（）若直线AB，CD的斜率均存在，求的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由椭圆的长轴长为2，右焦点F（1，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆G的方程（）F（1，0），由题意设直线AB的方程为y=k（x1），k0，由，得（3k2+2）x26k2x+3k26=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式分别求出AB的中点P，CD的中点Q，从而求出k=1时，有最
27、大值当k=1时，直线PQ的方程为x=，恒过定点（，0），当直线有斜率时，求出直线PQ的方程，由此能求出直线PQ恒过定点（）【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），解得a=，b=，椭圆G的方程为=1（）F（1，0），由题意设直线AB的方程为y=k（x1），k0，由，得（3k2+2）x26k2x+3k26=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2）2k=，AB的中点P（，），又由题意得直线CD的方程为y=，同理，得CD的中点Q（），=，当且仅当，即k=1时，有最大值又当直线PQx轴时， =，即k=1时，直线PQ的方程为x=，恒过定
28、点（，0），当直线有斜率时，kPQ=，直线PQ的方程为y，令y=0，得x=，恒过定点（），综上，直线PQ恒过定点（）20数列an是由1，2，3，xx的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B=x|x=an+i，n=0，1，2，xxm（）若m=8，求B中元素的最大值；（）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列an，若不能，说明理由m=8，n=8k，k=0，1，2，251；m=3，n=3k，k=0，1，2，671（）对于数列an，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值【考点】数列的应用；数列的求和【分析】（）x=an+i，m=8，代入即可求得x的值，即可
29、求得B中元素的最大值；（）由题意构造数列a2n=n，（n=1，2，1008），a2n1=xxn，（n=1，2，1008），由x=a4n+i，求得x的值，因此B=8068；采用反正法，假设存在一个数列an使集合B只有一个元素，由题意数列an中的xx个数分为672，每段和相等，设和为T，T=，与T是整数矛盾，假设不成立，因此不存在数列an使集合B只有一个元素，（）求得数列的前n项S8068，设a2n1=xxn，（n=0，1，2，1008），a2n=n，（n=0，1，2，1008），求得任意相邻的8项和为T=8064，即求得S的最小值【解答】解（）x=an+i，m=8，x=xx+xx+xx+xx+x
30、x+xx+xx+xx=16100，B中元素的最大值16100；（）数列：xx，1，xx，2，xx，3，1009，1008能使集合B中只有一个元素，这时，a2n=n，（n=1，2，1008），a2n1=xxn，（n=1，2，1008），x=a4n+i=xx（4k+1）+xx（4k+2）+xx（4k+3）+xx（4k+4）+（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4），=xx4=8068，所以B=8068，当m=3，n=3k，k=0，1，2，671时，没有这样的数列an，使集合B只有一个元素，证明：假设存在一个数列an使集合B只有一个元素，由题意数列an中的xx个数分为672，每段和相等
31、，设和为T，则有：672T=1+2+3+xx=，所以T=，与T是整数矛盾，假设不成立，当m=3，n=3k，k=0，1，2，671，没有这样的数列an使得集合B只有一个一个元素，（）S的最小值为8068，由题意S=max（an+i），n=0，1，2，xx，所以S，即S8068，要求所以S中的最小值，构造这样的数列an，a2n1=xxn，（n=0，1，2，1008），a2n=n，（n=0，1，2，1008），设任意相邻的8项和为T，则：T=a2n+a2n+1+a2n+7=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+，=xx4，=8064，（n=0，1，2，1004），T8068，即对这样的数列an，S=8068，S8068，S=8068xx10月4日40396 9DCC 鷌St23152 5A70 婰31635 7B93 箓29934 74EE 瓮a27979 6D4B 测27086 69CE 槎29487 732F 猯27255 6A77 橷
