1、2021年高三上学期期末考试 理科数学学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于(A)第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限（3）下列命题中正确的是 （A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线
2、有且只有一个平面与已知平面垂直（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为（A） （B） （C） （D）（5）在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为（A） （B） （C） （D）（6）如图所示，点是函数的图象的最高点，是该图象与轴的交点，若，则的值为（A） （B）（C） （D）（7）对于函数，有如下三个命题：是偶函数；在区间上是减函数，在区间
3、上是增函数；在区间上是增函数其中正确命题的序号是（A） （B） （C） （D）（8）已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 （A） （B） （C） （D）第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，那么的值为 （10）若非零向量，满足，则与的夹角为 （11）已知函数那么的值为 yxAFOB（12）在等差数列中，若，则数列的公差等于 ； 其前项和的最大值为 （13）如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为， 上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 . (14)已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 三
4、、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知中，角，的对边分别为，且，（）若，求； （）若，求的面积（16）（本小题共13分）在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且， （）求与；（）证明：（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点， （）求证：平面；（）点在线段上，试确定的值， 使平面； （）若平面，平面平面， 求二面角的大小（18）（本小题共13分）已知函数，其中（）求证：函数在区间上是增函数；（）若函数在处取得最大值，求的取值范围（19）（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上
5、顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由（20）(本小题共14分)已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，方程有实数根；函数的导数满足（）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；（）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；（）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.东城区2011-xx学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题
6、共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）C（5）D （6）B （7）A （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） 57 （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（）由已知， 整理得 2分 因为，所以. 故，解得. 4分 由，且，得. 由，即， 解得. 7分 （）因为，又，所以，解得. 10分 由此得，故为直角三角形， 其面积 13分 （16）（共13分） 解：（）设的公差为，因为所以 解得 或（舍）， 故 ， 6分
7、（）因为，所以 9分 故 11分 因为，所以，于是， 所以 即 13分（17）（共14分）证明：（）连接 因为四边形为菱形，所以为正三角形又为中点， 所以因为,为的中点，所以又， 所以平面 4分（）当时，平面下面证明：连接交于，连接 因为， 所以 因为平面，平面，平面平面，所以.所以所以，即 因为，所以 所以， 所以.又平面，平面，所以平面 9分（）因为， 又平面平面，交线为， 所以平面 以为坐标原点，分别以所在的直 线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 由=2，则有， 设平面的法向量为=， 由，且，可得令得所以=为平面的一个法向量 取平面的法向量=， 则， 故二面角的大小为60 14分 （
8、18）（共13分）证明：（） 因为且，所以 所以函数在区间上是增函数 6分（）由题意. 则. 8分令，即. 由于 ，可设方程的两个根为，由得，由于所以，不妨设， 当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；当时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，综上，函数只能在或处取得最大值 10分又已知在处取得最大值，所以，即，解得，又因为，所以（ 13分（19）（共13分）解：（）由是等腰直角三角形，得，故椭圆方程为 5分（）假设存在直线交椭圆于，两点，且为的垂心，设，因为，故 7分于是设直线的方程为，由得由，得， 且, 9分由题意应有，又，故，得即整理得解得或 12分经检验，当时，不存在，故舍去当时，所求直线存在，且直线的方程为 13分（20）（共14分）解：（）因为当时，所以方程有实数根0；，所以，满足条件；由，函数是集合中的元素. 5分（）假设方程存在两个实数根，则，.不妨设，根据题意存在，满足. 因为，且，所以.与已知矛盾.又有实数根，所以方程有且只有一个实数根. 10分（）当时，结论显然成立；当，不妨设.因为,且所以为增函数，那么.又因为，所以函数为减函数， 所以. 所以，即.因为，所以， （1）又因为，所以， （2）（1）（2）得即.所以.综上，对于任意符合条件的,总有成立.14分
