1、 西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2021.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）A（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12），（13），3（14）（答案不唯一，只要是即可）（15）注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点,所以. 3分因为平面，平面，所以平面. 5分（）不妨设正方体的
2、棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，. 8分设平面的法向量为，所以 所以 即10分令，则，于是.11分设直线与平面所成角为，则.13分所以直线与平面所成角的正弦值为. （17）（共13分）解：（）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，.2分此时.选条件：因为的最小值为，所以.3分因为图象的一个对称中心为，所以，5分所以，因为，所以，此时.7分所以.8分选条件：因为的最小值为，所以.3分因为函数的图象过点， 则，即，.因为，所以，5分所以，.7分所以.8分选条件：因为函数的一个对称中心为，所以，4分所以.因为，所以，此时.6分所以.因为函数的图象过点，所以，即，所
3、以.7分所以.8分（）因为，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，11分得，13分所以的取值范围为.（18）（共14分）解：（）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件. 由图表可知，颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值.所以.3分（）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于. 所以随机变量的所有可能取值为：.4分， . 8分所以随机变量的分布列为： 9分所以.11分（）.14分（19）（共15分）解：（）当时，所以.1分所以，.3分曲线在点处的切线方程为.4分（）由，得，令，则.6分当时，当时，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以的最小
4、值为.7分当时，9分又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上.10分所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值. 11分（）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于. 当时，由（）得，所以.所以在上单调递增，所以的最小值为.由，得，满足题意. 13分 当时，由（）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.15分（20）（共15分）解：（）依题意，解得.1分因为 ，即，2分所以 ，所以离心率，的面积.5分（）由已知，直线的方程为. 当，时，直线的方程为，交轴于点；当，时，直线的方程为，交轴于点.若直线经过轴上定点，则
5、，即，直线交轴于点.7分下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点.联立消整理，得 ，8分设，.则，.10分设点，所以直线的方程：.11分令，得.12分因为，所以.14分所以直线过定点.综上，存在实数，使得直线经过轴上定点.15分（21）（共15分）解：（）因为，所以，.4分（）充分性：若是等差数列，设公差为.因为数列是递增数列，所以.则当时，.所以，.6分必要性：若.因为是递增数列，所以，所以，且互不相等.所以.又，所以，且互不相等.所以，.所以，所以为等差数列. 9分（）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和.共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在集合中. 11分又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以.综上，且.12分设数列：，此时，.现对数列分别作如下变换：把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.再对数列依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列：，此时，；再把一个移为的后一项：得到数列：，此时，；依此类推最后把一个移为的后一项：得到数列：，此时，.综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.15分
