1、隔板法的应用1、若将5个不相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？（分类讨论和先取后排方法）情境引入情境引入2、若将5个相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？定理),(21nmNnmmxxxn 11nmC 方程的正整数解的组数为mn分析：问题可以转化为将个元素分成组的方法数问题。m)1(m个元素中间有个空档，在其中选)1(n个空档放入)1(n个隔板，则将m个个元素分成n组，方法数为11nmC即方程解的组数为11nmC定理的要求是：),2,1(1nixi ，且 Nxi上述这种解决问题的方法通常又被称上述这种解决问题的方法通常又被称为隔板法。为隔板法。应用隔板法解决问题时，需要注意两应用
2、隔板法解决问题时，需要注意两点点：一是隔板法针对的是相同元素的分配一是隔板法针对的是相同元素的分配问题，元素是不加区分的；问题，元素是不加区分的；二是要保证隔板隔出来每一部分至少二是要保证隔板隔出来每一部分至少有一个元素。有一个元素。隔板法隔板法隔板法的应用隔板法的应用一、不定方程解的问题一、不定方程解的问题Nzyx,10zyx例1、若，求方程解的组数。分析：问题等价于将分析：问题等价于将10个元素分成个元素分成3组的方法组的方法数，数，10个元素中间有个元素中间有9个空档，选个空档，选2个空档插入个空档插入隔板即可，方法数为隔板即可，方法数为3629C例2、求方程10zyx有多少组非负整数解
3、？,Nzyx0,zyx11x11y11z分析：，则，13)1()1()1(zyx66212C故13个元素中间有12个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为一、不定方程解的问题一、不定方程解的问题10zyx2x3y3z例3、求方程满足，的整数解的组数。，2x3y11x14 y12 z分析:由得：，3z，11)2()4()1(zyx又有10zyx，11个元素中间有10个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为45210C一、不定方程解的问题一、不定方程解的问题二、盒子装球问题例4、将5个相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？分析：因为允许有的盒子没有小球，设4个不同的盒子的球的个数分别为432
4、1,xxxx54321xxxx0,0,0,04321xxxx111x112x则，且，113x114x9)1()1()1()1(4321xxxx，9个元素中间有8个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数为5638C思考：若将5个不相同的小球放入4个不同的盒子中有多少种方法？分析：由于是5个不同的小球，元素不同，不能用隔板法，需要用分类讨论和先取后排的方法加以解决。二、盒子装球问题 例5、将12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于于其编号数，问不同的放法有多少种？4321,xxxx124321xxxx分析：设4个不同的盒子的球的个数分别为则，4,3,2,14
5、321xxxx11x112x123x134x且则，6)3()2()1(4321xxxx1035C6个元素中间有5个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数为二、盒子装球问题三、展开式的项数问题例6、求10)(dcba展开式中有多少项？4321xxxxdcbmam分析：展开式的每一项都可以写成，为系数，且 104321xxxx0,0,0,04321xxxx111x112x113x，114x14)1()1()1()1(4321xxxx，14个元素中间有13个空档，选3个空档插入隔板即可，方法数为286313C四、应用问题例7、某企业与一家电视台签订了一项播放广告的协议，电视台须在90天内播出这一广告6
6、00次，而且每天至少6次，就每天播出广告次数而言，共有多少种方法？90321,xxxx 6009021 xxx90,3,2,1,6 kxk15 kx分析：设每天播出广告次数为，且则，且150)5()5()5()5(90321 xxxx150个元素中间有149个空档，选89个空档插入隔板即可，方法数为89149C 例8、在1到1000之间有多少个整数的各位数字之和为6？分析：把1到999之间的每一个整数的左边适当添加几个0，写成3位数321xxx如把 6321xxx0,0,0321xxx111x112x，6写成006，66写成066，则，113x，9)1()1()1(321xxx9个元素中间有8
7、个空档，选2个空档插入隔板即可，方法数为2828C四、应用问题五、映射个数问题100321,aaaaA 50321,bbbbB 例9、若集合，若从集合A到集合 B的映射f,使得B中的每个元素都有原象，且)()()(10021afafaf ，问这样的映射有多少个？分析:由，问题等价于将100个)()()(10021afafaf 相同的小球放入50个 不同的盒子中，每个盒子至少一个小球，100个元素中间有99个空档，选49个空档插入隔板即可，从而由隔板法知这样的映射个数为4999C五、映射个数问题100321,aaaaA 50321,bbbbB 例10、若集合，若从集合A到集合 f，且)()()(
8、10021afafaf ，问这样的映射有多少个？B的映射分析：同例9，不同的是本题等价于将100个相同的小球放入50个不同的盒子中，每个盒子可空的方法数，设50个盒子装球数分别为50321,xxxx ，1005021 xxx0,0,0,050321 xxxx则111x112x113x1150 x，有，150)1()1()1()1(50321 xxxx150个元素中间有149个空档，选49个空档插入隔板即可，49149C 方法数为回顾本节课的学习,结合以下三个方面谈谈你的收获：课堂感悟1.学习了哪些新知识？2.在学习新知识的过程中运用了哪些数学思想方法？3.在学习新知识的过程中你积累了哪些数学活动经验？
