1、 伪随机序列12.2 在数字通信技术中具有十分重要的地位。在误码率测量、时延测量、扩谱通信、密码 及分离多径等方面都有着十分广泛的应用。12.2.1 基本概念n什么是伪随机噪声？什么是伪随机噪声？u通常，由周期性数字序列经过滤波等处理后得到。u因此，将这种周期性数字序列称为伪随机序列。n如何产生伪随机噪声？如何产生伪随机噪声？n伪随机序列伪随机序列u 又称伪随机噪声，伪随机信号，伪随机码。12.2.2 m序列1.m序列的产生序列的产生下图中示出一个4级线性反馈移存器。例例设其初始状态(a3,a2,a1,a0)=(1,0,0,0)，则在移位1次时，由a3和a0 模2相加产生新的输入a4=1 0=
2、1，新的状态变为(a4,a3,a2,a1)=(1,1,0,0)。这样移位15次后又回到初始状态(1,0,0,0)。若初始状态为全“0”，即(0,0,0,0)，则移位后得到的仍为全“0”状态。应该避免出现全“0”状态，否则移存器的状态将不 会改变。一般来说，一个n 级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于(2n-1)。4级 移存器共有24=16种可能的状态。除全“0”状态外，只剩15种状态可用。这就是说，由任何4级反馈移存器产生的序列的周期最长为15。n一般的线性反馈移存器原理方框图一般的线性反馈移存器原理方框图n基本关系式基本关系式与产生m序列有关的三个方程1）递推方程 设一个n 级移存器的初始
3、状态为：a1 a2 an1 次移位后:a0 a1 an1 n 次移位后:an1 an2 a0如图：再移位1次时，移存器左端新得到的输入an，按图中线路连接关系，可写为:）（模210112211niininnnnnacacacacaca按照递推方程计算，可以用软件产生m序列。niikikaca1）（模210112211niininnnnnacacacacaca递推方程2）特征方程（特征多项式）它决定了移存器的反馈连接和序列的结构。式中，xi 仅指明其系数（1或0）代表反馈线的连接状态ci 的值，x本身的取值并无实际意义。ci1 表示此线接通（参加反馈）；ci0 表示此线断开。若特征方程为:例例4
4、1)(xxxf则它仅表示x0，x1和x4 的系数c0c1c41，ci，即c2c30。按照这一特征方程构成的反馈移存器就是上图所示的。niiinnxcxcxcxccxf02210)(02210)(kkkxaxaxaaxG3）母函数 它表示反馈移存器的输出序列 ak。n几个定理几个定理有关m序列和m序列产生器性质niiiiiiixaxaxaxcxh111)1()1()(可见，当电路给定后，h(x)仅决定于初始状态(a-i a-1)。n本原多项式本原多项式u由【定理12.4】可以简单写出一个线性反馈移存器能产生m序列的充要条件为：反馈移存器的 为。要求用一个4级反馈移存器产生m序列，试求其特征多项式
5、。例例特征多项式 f(x)应可整除(xm+1)=(x15+1)，或者说，应该是(x15+1)的一个因子，而且还应该是一个4次本原多项式。解解 111111223434415xxxxxxxxxxxx可以证明，前2个是本原多项式，由其中任何一个都可产生 m 序列。1115234xxxxxx这就是说，它不仅可整除(x15+1)，还可整除(x5+1)，故它不是本原的。n=4，故此移存器产生的m序列的长度 m=2n 1=15。第3个不是，因为上式表明，(x15+1)可以分解为 5个既约因子，其中3个是4次多项式。用(x4+x+1)作为特征多项式构成的4级反馈移存器见上图。由上述可见，只要找到了本原多项式
6、，我们就能由它构成m序列产生器。下表中列出了部分已经找到的本原多项式:n本原多项式表本原多项式表本原多项式也可用 8进制 数字表示。例如，对于 n=4 表中给出“23”，它表示 2 3 0 1 00 1 1 c5c4c3c2c1c0即 c0=c1=c4=1，c2=c3=c5=0 1 1）均衡性2.m序列的性质序列的性质在 m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说，“1”的个数比“0”的个数多一个。2 2）游程分布游程指一个序列中取值相同的那些连在一起的元素合。游程长度指一个游程中元素的个数。12.2.2 m序列1.m序列的产生序列的产生一般说来，在m序列中，长度为1的游程占游
7、程总数的1/2；长度为2的游程占游程总数的1/4；长度为3的游程占1/8；.。在前例中给出的 m序列可以重写如下：例例 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 m 15在其一个周期（m个元素）中，共有8个游程，其中长度为4的游程有1个，即1111，长度为3的游程有1个，即000，长度为2的游程有2个，即1 1和0 0，长度为1的游程有4个，即两个1和两个0。3 3）移位相加特性一个Mp与其经过任意次产生的另一个不同序列Mr模2相加，得到的仍是 Mp 的某次延迟移位序列 Ms，即Mp Mr=Ms现在分析一个m=7的 m序列 Mp作为例子。设 Mp的一个周期为11100
8、10，将其向右移位一次得到另一个序列 Mr 的一个相应周期为0111001。这两个序列的模2和为1110010 0111001=1001011得出的为Ms的一个相应的周期，它与Mp向右移位5次的结果相同。4 4）自相关函数1,2,1,10,1)(mjmjj当当m 序列的自相关函数为可见：(j)只有两种取值：1和-1/m，所以有时也把这类序列称为双值自相关序列。由于m序列有周期性，故其自相关函数也有周期性，周期也是m，即整数jjj),()(,2,1,),()(kkmjkmjj当且(j)是偶函数：若把 m序列 当作 周期性 连续函数 求其 自相关函数，则从周期函数的自相关函数的定义：2/2/000
9、)()(1)(TTdttstsTRT0 为s(t)的周期 可以求出其自相关函数R()的表示式:其他处,/1,2,1,0,0,11)(0000mimTiTiTTmR按照上面的公式画出的 (j)和 R()的曲线如下图所示。(j)T0R()5 5）功率谱密度信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换。因此，对的作傅里叶变换可得其：)(12)2/()2/sin(1)(2002002mTnmTmTmmPnns其曲线如图所示:在T0 和 m/T0 时，Ps()的特性趋于白噪声的功率谱密度特性。由图可见:6 6）伪噪声特性 对一正态分布白噪声取样，若取样值为正，则记为“”。将每次取样所得极性排成序列，例
10、如:这是一个，它具有如下3个基本性质：u序列中“”和“”的出现概率相等。负“”12.2.3 其他伪随机序列简介 1.M序列序列由非线性反馈移存器产生的周期最长的序列称为。n定义：其周期可达 2nnM序列的产生：下面介绍一种利用 m序列 产生器构成 M序列产生器的方法。仍以前面介绍的 n=4级的 m序列 产生器为例。下图中给出了它的15种状态。若使它增加一个“0000”状态，就可变成 M序列产生器了。因为移存器中后级状态必须是由其前级状态移入而得，故此“0000”状态必须处于初始状态“1000”之前和“0001”状态之后。这就是说，需将其递推方程修改为非线性方程，使“0001”状态代入新的递推方
11、程后，产生状态“0000”（而不是“1000”），且在“0000”状态代入后产生状态“1000”（而不是保持“0000”不变）。修改前的递推方程为411kkniikikaaaca修改后的递推方程应为:41321321414321432141ikkkikikkkkkkkkkkkkkkkkaaaacaaaaaaaaaaaaaaaa有了递推方程，就不难构造出此M序列产生器。11141121njikniikiinkkkikikaacaaaaca对于n级 m序列也一样。为使 n级 m序列变成M序列，也只需使其递推方程改为一个 4级 M序列 如下图所示:nM序列的性质：M序列与m序列类似，也在一定程度上具
12、有噪声特性。它满足m序列的前两个性质：但是，M序列 m序列 的及特性。nM序列的优点：下表给出了级数 n与可能产生的两种序列数目的比较：2.二次剩余二次剩余序列序列 二次剩余又称平方剩余数，例如，32=9；9 被 7 除得到的余数是 2，即有 32=9 2(mod 7)则称 2 为 模7 的平方剩余数。当规定 a0=-1，且的非二次剩余模是的二次剩余模是pi,1pi,1ia其中，p为奇数，则称 ai为 二次剩余序列，i=0,1,2,.，其周期为p。设 p=19（素数素数），容易算出：例例这种序列具有随机序列基本性质的第1)条性质，但一般不具备第2)条性质。当 p=4t 1时（t=正整数），它是
13、，即具有近于随机序列基本性质第3)条的性质；当 p=4t+1时，它。但是，若p很大，它仍具有近于第3)条的性质。一般认为它也属于伪随机序列。3.双素数双素数序列序列双素数序列 ai 的定义为：其他,1)(mod0,11),(,221pipipipiai式中)2,1(,1,1jpipipijjj的非二次剩余是模的二次剩余是模(i，p)=1 表示 i 和 p 互为 素数（最大公因子为1）。其他,1)(mod0,11),(,221pipipipiai例例,1513585752,15145115451:131431138321313373431:21pipi所以此双素数序列为：-式中 1；1。可以验证，双素数序列也基本满足随机序列的基本性质，所以也属于PN序列。
