1、2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（共10题；共40分）1.已知集合 A=x|-1x1 ， B=x|0x2 ，则 AB= （ ） A.(-1,2)B.(-1,2C.0,1)D.0,12.在复平面内，复数 z 满足 (1-i)z=2 ，则 z= （ ） A.2+iB.2-iC.1-iD.1+i3.已知 f(x) 是定义在上 0,1 的函数，那么“函数 f(x) 在 0,1 上单调递增”是“函数 f(x) 在 0,1 上的最大值为 f(1) ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要
2、条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A.3+32B.4C.3+3D.25.双曲线 C:x2a2-y2b2=1 过点 (2,3) ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2-3y23=1D.3x23-y2=16.an 和 bn 是两个等差数列，其中 akbk(1k5) 为常值， a1=288 ， a5=96 ， b1=192 ，则 b3= （ ） A.64B.128C.256D.5127.函数 f(x)=cosx-cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最
3、大值为2C.奇函数，最大值为 98D.偶函数，最大值为 988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度其中小雨（ 10mm ），中雨（ 10mm-25mm ），大雨（ 25mm-50mm ），暴雨（ 50mm-100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆 C:x2+y2=4 ，直线 l:y=kx+m ，当 k 变化时， l 截得圆 C 弦长的最小值为2，则 m= （ ） A.2B.2C.3D.510.数列 an 是递增的整数数列，且 a13 ， a1+a2+an=100 ，则 n
4、的最大值为（ ） A.9B.10C.11D.12二、填空题5小题，每小题5分，共25分（共5题；共25分）11.(x3-1x)4 展开式中常数项为_ 12.已知抛物线 C:y2=4x ，焦点为 F ，点 M 为抛物线 C 上的点，且 |FM|=6 ，则 M 的横坐标是_；作 MNx 轴于 N ，则 SFMN= _ 13.若点 P(cos,sin) 与点 Q(cos(+6),sin(+6) 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的 = _ 14.已知函数 f(x)=|lgx|-kx-2 ，给出下列四个结论： 若 k=0 ，则 f(x) 有两个零点； k0 ，使得 f(x) 有一个零点； k0 ，使得
5、 f(x) 有三个零点以上正确结论得序号是_15.a=(2,1) ， b=(2,-1) ， c=(0,1) ，则 (a+b)c= _； ab= _ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（共6题；共85分）16.已知在 ABC 中， c=2bcosB ， C=23 （1）求 B 的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度 c=2b ；周长为 4+23 ；面积为 SABC=334 ；17.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，点 E 为 A1D1 中点，直线 B1C1 交平面 CDE 于点 F （
6、1）证明：点 F 为 B1C1 的中点； （2）若点 M 为棱 A1B1 上一点，且二面角 M-CF-E 的余弦值为 53 ，求 A1MA1B1 的值 18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100人，已知其中2人感染病毒 （1）若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； 已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 111 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测
7、次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果) 19.已知函数 f(x)=3-2xx2+a （1）若 a=0 ，求 y=f(x) 在 (1,f(1) 处切线方程； （2）若函数 f(x) 在 x=-1 处取得极值，求 f(x) 的单调区间，以及最大值和最小值 20.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0) 过点 A(0,-2) ，以四个顶点围成的四边形面积为 45 （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k ， 交椭圆E于不同的两点B ， C ， 直线AB ， AC交y=-3于点M、N ， 直线AC交y=-3于点N ， 若|PM|+|PN
8、|15，求k的取值范围 21.定义 Rp 数列 an ：对实数p ， 满足： a1+p0 ， a2+p=0 ； nN*,a4n-1a4n ； am+nam+an+p,am+an+p+1 ， m,nN* （1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 R2 数列吗？说明理由； （2）若 an 是 R0 数列，求 a5 的值； （3）是否存在p ， 使得存在 Rp 数列 an ，对 nN*,SnS10 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由 答案解析部分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.【答案】 B 【考点】并集及其运算 【解析
9、】【解答】解：根据并集的定义易得AB=x|-1x2 ， 故答案为：B 【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：z=21-i=21+i1-i1+i=1+i ， 故答案为：D 【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：【充分性】若函数f(x)在0, 1上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在0, 1的最大值为f(1), 所以“函数f(x)在0, 1.上单调递增”为“函数f(x)在0, 1的最大值为f(1)“的充分条件； 【必要性】若函数f(x)在
10、0, 1的最大值为f(1)，函数f(x)在0, 1上可能先递减再递增，且最大值为f(1)， 所以“函数f(x)在0, 1.上单调递增”不是“函数f(x)在0, 1的最大值为f(1)“的必要条件， 所以“函数f(x)在0, 1上单调递增”是“函数f(x)在0, 1的最大值为f(1)“的充分而不必要条件. 故答案为：A 【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.【答案】 A 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示： 该四面体为直三棱锥，其中SA平面ABC，SA=AB=AC=1， 则SB=SC
11、=BC=2 ， 则所求表面积为S=31211+1222sin60=3+32 故答案为：A 【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.【答案】 A 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e=ca=2得c=2a，则b2=c2-a2=3a2 则可设双曲线方程为：x2a2-y23a2=1 ， 将点 (2,3)代入上式，得22a2-323a2=1 解得a2=1,b2=3 故所求方程为： x2-y23=1 故答案为：A 【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.【答案】 B 【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】解：由
12、题意得akbk=a1b1=288192=32 ， 则a5b5=32 ， 则b5=23a5=64 ， 所以b3=b1+b52=192+642=128. 故答案为：B 【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.【答案】 D 【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值 【解析】【解答】解：f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) f(x)为偶函数 又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1 令t=cosx，则y=-2t2+t+1，t-1,1， 则当t=-12-2=14时，y取得最大值ymax=-2142+14+1=98. 故答案为：D
13、 【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.【答案】 B 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【解答】解：如图所示， 由题意得r100=150300 ， 则r=50 则雨水的体积为V=13r2h=13502150 ， 则降雨的厚度（高度）为H=V1002=135021501002=12.5mm 故答案为：B 【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d， 则d2=r2-n22=4-n24 ， 则当n取最小值2时，d取得最大
14、值为3 ， 则d=m1+k23 当k=0时，d取得最大值为3 ， 则|m|=3 解得m=3 故答案为：C 【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.【答案】 C 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【解答】解： 数列an是递增的整数数列 ， n要取最大，d尽可能为小的整数， 故可假设d=1 a1=3，d=1 an=n+2 Sn=3+n+2n2=n2+5n2 则S11=88100， 故n的最大值为11. 故答案为：C 【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分11.【答案】 -4 【考
15、点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为Tk+1=C4kx34-k-1xk=C4k-1kx12-4k 令12-4k=0，得k=3 故常数项为T4=T3+1=C43-13=-4 故答案为：-4 【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.【答案】 5；45 【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用 【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）, 则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=25 ， 不妨取点M为5,25 则点N为5,0 则|FN|=5-1=4 则SFMN=12FNM
16、N=12425=45 故答案为：5，45 【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.【答案】 512 （满足 =512+k,kZ 即可） 【考点】诱导公式 【解析】【解答】解：由题意得sin=sin+6cos=-cos+6 ， 对比诱导公式sin=sin(-)，cos=-cos(-)得+6=-+2k ， 解得=512+k,kZ 当k=0时，=512 故答案为：512 【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.【答案】 【考点】函数的零点 【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， 当k
17、= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x=1100 ， 所以有两个零点，故项正确； 当k0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，k0 ， 使得两函数存在两个交点，故项正确； 当k0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，k0 ， 使得两函数存在三个交点，故项正确. 故答案为： 【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.【答案】 0；3 【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】解：由题意得
18、a+b=4,0 ， 则a+bc=40+01=0 ， ab=22+1-1=3 故答案为：0，3 【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.【答案】 （1）c=2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC=2sinBcosB ， sin2B=sin23=32 ， C=23 ， B(0,3) ， 2B(0,23) ，2B=3 ，解得 B=6 ；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得 cb=sinCsinB=3212=3 ， 与 c=2b 矛盾，故这样的 ABC 不存在；若选择：由（1）可得 A=6 ，设 ABC 的
19、外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得 a=b=2Rsin6=R ，c=2Rsin23=3R ，则周长 a+b+c=2R+3R=4+23 ，解得 R=2 ，则 a=2,c=23 ，由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：(23)2+12-2231cos6=7 ；若选择：由（1）可得 A=6 ，即 a=b ，则 SABC=12absinC=12a232=334 ，解得 a=3 ，则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为：b2+(a2)2-2ba2cos23=3+34+332=212 .【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）根据正弦
20、定理，结合三角形内角和的性质求解即可； （2） 选择 ：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可； 选择 ：根据正弦定理，及余弦定理求解即可； 选择 ：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.【答案】 （1）如图所示，取 B1C1 的中点 F ，连结 DE,EF,FC ， 由于 ABCD-A1B1C1D1 为正方体， E,F 为中点，故 EFCD ，从而 E,F,C,D 四点共面，即平面CDE即平面 CDEF ，据此可得：直线 B1C1 交平面 CDE 于点 F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F 重合，即点 F 为 B1C1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA
21、,DC,DD1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D-xyz ， 不妨设正方体的棱长为2，设 A1MA1B1=(01) ，则： M(2,2,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC=(-2,2-2,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0) ，设平面 MCF 的法向量为： m=(x1,y1,z1) ，则：mMC=-2x1+(2-2)y1-2z1=0mCF=x1+2z1=0 ，令 z1=-1 可得： m=(2,11-,-1) ，设平面 CFE 的法向量为： n=(x2,y2,z2) ，则：nFE=-2y2=0nCF=x2
22、+2z2=0 ，令 z1=-1 可得： n=(2,0,-1) ，从而： mn=5,|m|=5+(11-)2,|n|=5 ，则： cosm,n=mn|m|n|=55+(11-)25=53 ，整理可得： (-1)2=14 ，故 =12 （ =32 舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可； （2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.【答案】 （1）对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次；
23、由题意， X 可以取20，30，P(X=20)=111 ， P(X=30)=1-111=1011 ，则 X 的分布列:X 20 30 P 111 1011 所以 E(X)=20111+301011=32011 ；（2）由题意， Y 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p， P(Y=25)=p ， P(Y=30)=1-p ，则 E(Y)=25p+30(1-p)=30-5p ，若 p=211 时， E(X)=E(Y) ；若 p211 时， E(X)E(Y) ；若 p211 时， E(X)E(Y) .【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与
24、方差 【解析】【分析】（1）根据 “k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可； 根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可； （2）根据 “k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.【答案】 （1）当 a=0 时， f(x)=3-2xx2 ，则 f(x)=2(x-3)x3 ， f(1)=1 ， f(1)=-4 ， 此时，曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方程为 y-1=-4(x-1) ，即 4x+y-5=0 ；（2）因为 f(x)=3-2xx2+a ，则 f(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(
25、x2+a)2=2(x2-3x-a)(x2+a)2 ， 由题意可得 f(-1)=2(4-a)(a+1)2=0 ，解得 a=4 ，故 f(x)=3-2xx2+4 ， f(x)=2(x+1)(x-4)(x2+4)2 ，列表如下：x (-,-1) -1(-1,4) 4(4,+) f(x) +0-0+f(x) 增极大值减极小值增所以，函数 f(x) 的增区间为 (-,-1) 、 (4,+) ，单调递减区间为 (-1,4) .当 x0 ；当 x32 时， f(x)0 ，解得 k1 .又 x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2 ，故 x1x20 ，所以 xMxN0 又 |PM|+|PN|=|
26、xM+xN|=|x1y1+2+x2y2+2| =|x1kx1-1+x2kx2-1|=|2kx1x2-(x1+x2)k2x1x2-k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1|=5|k| 故 5|k|15 即 |k|3 ，综上， -3k-1 或 1k3 .【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可； （2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.【答案】 （1）由性质结合题意可知 0=a3a1+a2+2,a1+a
27、2+2+1=2,3 ， 矛盾，故前4项 2,-2,0,1 的数列，不可能是 R2 数列.（2）性质 a10,a2=0 ， 由性质 am+2am,am+1 ，因此 a3=a1 或 a3=a1+1 ， a4=0 或 a4=1 ，若 a4=0 ，由性质可知 a3a4 ，即 a10 或 a1+10 ，矛盾；若 a4=1,a3=a1+1 ，由 a3a4 有 a1+11 ，矛盾.因此只能是 a4=1,a3=a1 .又因为 a4=a1+a3 或 a4=a1+a3+1 ，所以 a1=12 或 a1=0 .若 a1=12 ，则 a2=a1+1a1+a1+0,a1+a1+0+1=2a1,2a1+1=1,2 ，不满
28、足 a2=0 ，舍去.当 a1=0 ，则 an 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明 a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(nN) ：当 n=0 时，经验证命题成立，假设当 nk(k0) 时命题成立，当 n=k+1 时：若 i=1 ，则 a4(k+1)+1=a4k+5=aj+(4k+5-j) ，利用性质：aj+a4k+5-jjN*,1j4k+4=k,k+1 ，此时可得： a4k+5=k+1 ；否则，若 a4k+5=k ，取 k=0 可得： a5=0 ，而由性质可得： a5=a1+a41,2 ，与 a5=0 矛盾.同理可得：aj+a4k+6-jjN*,1j4k+5=k,k+1
29、 ，有 a4k+6=k+1 ；aj+a4k+8-jjN*,2j4k+6=k+1,k+2 ，有 a4k+8=k+2 ；aj+a4k+7-jjN*,1j4k+6=k+1 ，又因为 a4k+7a4k+8 ，有 a4k+7=k+1. 即当 n=k+1 时命题成立，证毕.综上可得： a1=0 ， a5=a41+1=1 .（3）令 bn=an+p ，由性质可知： m,nN*,bm+n=am+n+p am+p+an+p,am+p+an+p+1 =bm+bn,bm+bn+1 ，由于 b1=a1+p0,b2=a2+p=0,b4n-1=a4n-1+pa4n+p=b4n ，因此数列 bn 为 R0 数列.由（2）可知:若 nN,a4n+i=n-p(i=1,2,3),a4n+4=n+1-p ；S11-S10=a11=a42+3=2-p0 ， S9-S10=-a10=-a42+2=-(2-p)0 ，因此 p=2 ，此时 a1,a2,a100 ， aj0(j11) ，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤 【解析】【分析】（1）根据新数列Rp数列的定义进行判断即可； （2）根据新数列Rp数列的定义，结合数学归纳法求解即可； （3）根据新数列Rp数列的定义，结合an与sn的关系进行判断即可.
