1、【课前测试】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点（1）求证AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60空间向量与立体几何【知识梳理】一、平行、垂直的向量证法设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，则线线平行：lmabakb，kR；线面平行：lauau0；面面平行：uuk，kR.线线垂直：lmabab0；线面垂直：lauaku，kR；面面垂直：uu0.二、空间角的求法1、异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范
2、围(0，)求法cos cos |cos |2、求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.3、求二面角的大小如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)【课堂讲解】考点一空间向量法证明平行或垂直问题例1、如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1平行且等于BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1
3、)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.变式训练：1、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.2、如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求证：平面ADE平面ABE.3、如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是Pc的中点，作EF上PB交PB于F，证明：（1）直线PA平面EDB；（2）直线PB平面EFD考点二利用空间向量求异面直线所成角例2、如图，在正方体ABCDA1B1C1D
4、1中，E为AB的中点(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；(2)求证：平面EB1D平面B1CD.变式训练：1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.2.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值考点三利用空间向量求直线与平面所成角例3、如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面AC
5、D1所成角的正弦值变式训练：1、如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA12A1B12.(1)若M为CD的中点，求证：AM平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值2、在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO平面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值考点四利用空间向量求二面角例4、已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1.点F，E分别是边A1C1和侧棱BB1的中点(
6、1)证明：FB平面AEC；(2)求二面角FAEC的余弦值.变式训练：1、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1，M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的平面角的余弦值；2、在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E是PD的中点，ABCACD90，BACCAD60，ACAP2.(1)求证：PCAE；(2)求二面角ACEP的余弦值.3、如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD ，PDQA ，QA = AB =12PD（I）证明：平面 PQC 平面 DCQ ；（
7、II）求二面角 Q BP C 的余弦值考点五解决探索性问题例5、如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADBC，AD2BC2，BCDC，BAD60，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，PAD为正三角形，M是棱PC上的一点(异于端点)(1)若M为PC的中点，求证：PA平面BME.(2)是否存在点M，使二面角MBED的大小为30？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由 变式训练：1、直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的平面角的余
8、弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由2、如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2.(1)求证：ABPC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由考点六空间中的距离问题例6、 如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点(1)求证：平面EFG平面PAB；(2)求点A到平面EFG的距离变式训练：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，
9、为的中点(1)证明：直线；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小； (3)求点B到平面OCD的距离。2、已知正三棱柱,，,是侧棱的中点。(1)求二面角的正切值；(2)求点到平面的距离【课后练习】1、如图，三棱柱中，面， ，为的中点.（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.2、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.(1)求证：平面BCE平面CDE；(2)若点M是CD的中点，证明AM平面BCE.3、如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADCD，侧棱AA1底面ABCD，E是CD的中
10、点，CD2AB2AD，AD1，AA1.(1)求证：EA1平面BDC1；(2)求二面角DBC1D1的余弦值.4、如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2. (1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值5、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离6、如图，已知在矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD
11、的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB.(1)求证：平面AOD平面ABCO；(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值7、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值8、如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长【课后测试】如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值
