1、2021 年重庆中考复习最值问题专题训练一一、利用垂线段最短求最值例 1、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，BC8，D 是 BC 边上一动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转 45得 AE，连接 CE，则线段 CE 长的最小值为 例 2、如图，ABC 是等腰直用三角形，且 AC=BC=8，D 为射线 AB 上的一个动点，连接 CD，3二、利用二次函数求最值例 4、如图，在ABC 中，ACB90，AC15，BC9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 例 5、如图，边长为 8 的正
2、方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 RtAPE，边 PE 与 BC 交于点 F，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 .将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90至 CF，E 为线段 AC 上的一点，sinCBE=5过程中，EF 的最小值为 ，则点 D 在运动5例 6、如图,在ABC 中， AB = AC = 5, BC = 4，D 为边 AB 上一动点(B 点除外),以 CD 为一例3、如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，点D 是ABC 内一个动点，且满足DAB=DBC，当线段 CD 取最小值时，记BCD =a ，线段 AB 上
3、一动点 E 绕点 D 顺时针旋转得到点 F，且满足EDF =a ，则 AF 的最小值为_ .FDAE边作正方形 CDEF，连接 BE，则 DBDE 面积的最大值为 .三、利用三角形三边的关系求最值例 7、如图，RtABC 中，ACB90，ACBC4，D 为线段 AC上一动点，连接 BD，过点 C 作 CHBD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 BC例 8、如图，在四边形 ABCD 中，AB6，BC4，若 ACAD，且ACD60，则对角线 BD的长的最大值为 例 9、如图，RtABC 中，ACB90，AB2AC，BC3，点 E 是 AB 上的点，将ACE 沿CE 翻折，得到ACE，过点
4、B 作 BFAC 交BAC 的平分线于点 F，连接 AF，则 AF 长度的最小值为 3 例 12、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，对角线 AC、BD 交于点 O， AOD = 1200 ，E 为 BD 上任意一点，F 为 AE 中点，则 FO+FB 的最小值为 .例 13、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,BC=9,M 为 BC 上一点，连接 MA，将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转900 得到线段 MN，连接 CN，DN，则 CN+DN 的最小值为 ADN四、利用两点之间线段最短求最值例 10、如图，菱形 ABCD 的边长为 6，对角线 AC6，点 E，F 在 AC 上，且 EF2
5、，则 DE+BF的最小值为 五、利用将军饮马求最值例 11、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD2，AB4，点 E，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E右侧），且 EF1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 BMC六、利用胡不归求最值例 14、如图，Y ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+PD的最小值等于 七、利用阿氏圆求最值例 15、如图，在 RtABC 中，ABC=90，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点 M，且 BM=2.在线段 AC 上有一动点 N，连接 MN，BN.将 DBMN 沿BN 翻折得到DBM N .连接 AM 、CM
6、 . 则 2CM + 2 AM 3的最小值为 .FD2021 年重庆中考复习最值问题专题训练一答案A一、利用垂线段最短求最值例 1、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，BC8，D 是 BC 边上一动点，将 AD 绕E2点 A 逆时针旋转 45得 AE，连接 CE，则线段 CE 长的最小值为（）2A 4B 4C 4-1D 8 - 42CB解：如图，在 AB 上截取 AFAC2，旋转ADAEACBC8，ACB90，AB8 ，BBAC45，BF8 8DAE45BAC，DAFCAE，且 ADAE，ACAF，ACEAFD（SAS）28 2 - 8CEDF，当 DFBC 时，DF 值最小，即
7、CE 的值最小，DF 最小值为= 8 - 42例 2、如图，ABC 是等腰直用三角形，且 AC=BC=8，D 为射线 AB 上的一个动点，连接 CD，3二、利用二次函数求最值例 4、如图，在ABC 中，ACB90，AC15，BC9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD，连接 AD，则线段 AD 的最小值是 解：如图，过点 D 作 DEAC 于 E，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD，DPBP，DPB90，DPE+BPC90，且BPC+PBC90，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90至 CF，E 为线段 A
8、C 上的一点，sinCBE=5过程中，EF 的最小值为 ，则点 D 在运动DPEPBC，且 DPBP，DEPC90，DEPPCB（AAS），DECP，EPBC9，AE+PCACEP6，AE+DE6，设 AEx，DE=6x，AD2AE2+DE2，AD2x 2+（6x）2=2（x3）2+18，当 x3 时，AD 有最小值为 3，例 5、如图，边长为 8 的正方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 RtAPE，边 PE 与 BC 交于点 F，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 .例3、如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，点D 是ABC
9、内一个动点，且满足DAB=DBC，当线段 CD 取最小值时，记BCD =a ，线段 AB 上一动点 E 绕点 D 顺时针旋转得到点 F，且满足EDF =a ，则 AF 的最小值为_ .例 7、如图，RtABC 中，ACB90，ACBC4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点MC 作 CHBD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 N解：如图，过点 E 作 EMCD 于 M，过点 E 作 ENCB 于 N设CPx，则ENMC=8x，NBx，EN 2 + NB2(8 - x)2 + x22(x - 4)2 ) + 32 BE =，图 1图 2解法一：如图 1，取 BC 中点 G，连接
10、HG，AG，CHDB，点 G 是 BC 中点，HGCGBG当 x = 4 时，BE 的值最小，最小值为 45例 6、如图,在ABC 中， AB = AC = 5, BC = 4，D 为边 AB 上一动点(B 点除外),以 CD 为一 BC2，在 RtACG 中，AG2 ，在AHG 中，AHAGHG，即当点 H 在线段 AG边作正方形 CDEF，连接 BE，则 DBDE 面积的最大值为 .解：过点 C 作 CGBA 于点 G，作 EHAB 于点 H，作 AMBC 于点 MABAC5，BC4，BMCM2，易证AMBCGB， ，GB8，设 BDx，则 DG8x，易证EDHDCG（AAS），EHDG8
11、x，SBDE ， 当 x4 时，BDE 面积的最大值为 8三、利用三角形三边的关系求最值上时，AH 最小值为 22，解法二：如图 2，CHB90，BC 是定值，H 点是在以 BC 为直径的半圆上运动（不包括B 点和 C 点），连接 HO，则 HOBC2当 A、H、O 三点共线时，AH 最短，此时 AHAOHO22 例 8、如图，在四边形 ABCD 中，AB6，BC4，若 ACAD，且ACD60，则对角线 BD的长的最大值为 解析：将 AB 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AK，连接 BK、DK则 AKABBK6，KAB60，DACKAB，DAKCAB，在DAK 和CAB 中，DAKCAB（
12、SAS）DKBC4，DK+KBBD，DK4，KBAB6当 D、K、B 共线时，BD 的值最大，最大值为 DK+KB10例 9、如图，RtABC 中，ACB90，AB2AC，BC3，点 E 是 AB 上的点，将ACE 沿CE 翻折，得到ACE，过点 B 作 BFAC 交BAC 的平分线于点 F，连接 AF，则 AF 长度的最小值为 3 解：如图，过点 A 作 AHBC 交 FB 的延长线于 H，连接 AA，过点 C 作 CPAF 于 P，ACB90，AB2AC，cosCAB ，CAB60，tanCAB ，AC，BFAC，AHBC，四边形 ACBH 是平行四边形， 又ACB90，四边形 ACBH
13、是矩形，H90，AHBC3，AF 平分BAC，BAFCAF30，BFAC，BFAFAC30，AF2AH6，CPAF，CAF30，CPAC ，APCP ， 在AAF 中，AFAFAA，当点 A在线段 AF 上时，AF 有最小值，将ACE 沿 CE 翻折，得到ACE，ACAC， 又CPAF，AA2AP3，AF 的最小值633， 故答案为：3四、利用两点之间线段最短求最值例 10、如图，菱形 ABCD 的边长为 6，对角线 AC6，点 E，F 在 AC 上，且 EF2，则 DE+BF的最小值为 解：如图，作 DMAC，使得 DMEF2，连接 BM 交 AC 于 F，DMEF，DMEF，四边形 DEF
14、M 是平行四边形，DEFM，DE+BFFM+FBBM，例 12、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,BC=9,M 为 BC 上一点，连接 MA，将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转900 得到线段 MN，连接 CN，DN，则 CN+DN 的最小值为 NAD根据两点之间线段最短可知，此时 DE+FB 最短，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AOO3，在 RtADO 中，OD3，BD6，DMAC，MDBBOC90，BM 2 DE+BF 的最小值为 2 五、利用将军饮马求最值例 10、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD2，AB4，点 E，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E右侧），且 E
15、F1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 EFAMBDCBMC六、利用胡不归求最值例 13、如图，Y ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB+PD的最小值等于 N解：在 AB 上截取 AMEF，作点 M 关于直线 DC 的对称点 N，连接 BN 交 CD 于 F，此时四边形解：如图，过点 P 作 PEAD，交 AD 的延长线于点 E，ABCDEDPDAB60，sinEDPEPPDPB+PDPB+PE，当点 B，点 P，点 E 三点共线AEFB 的周长最小四边形 AEFB 的周长的最小值 AB+EF+AE+BF AB+EF+MF+BF 且 BEAD 时，P
16、B+PE 有最小值，即最小值为 BE，sinABE332 +42AB+EF+NF+BFAB+EF+NB4+1+10，七、利用阿氏圆求最值例 11、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，对角线 AC、BD 交于点 O， AOD = 1200 ，E 为 BD 上任意一点，F 为 AE 中点，则 FO+FB 的最小值为 .例 14、如图，在 RtABC 中，ABC=90，BC=4，AB=6，在线段 AB 上有一点 M，且 BM=2.在线段 AC 上有一动点 N，连接 MN，BN.将 DBMN 沿 BN 翻折得到DBM N .连接 AM 、CM . 则2CM + 2 AM 的最小值为.32解：在 BM 上截取 BQ=，3Q BQ = BM = 2 , QBM = M BA ，DBQM : DBM A. BM QM =BA3BQ = 1 , QM = 1 M A, M ABM 33 2CM + 2 AM = 2(CM + 1 AM ) = 2(CM + QM ) 33当Q、M 、C 三点共线时， CM + QM =QC 有最小值为：QC= 2 37 .BQ2 + BC 2( 2)2 + 4233 2CM + 2 AM 的最小值为 4 37 .33
