1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题。满分150分，考试用时120分钟 宜昌数学柯老师校勘一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合A= x|-2x4， B = 2,3,4,5,则AB=（ ）A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,42.已知z =2-i，则(z(z+i)=（ ）A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A.2 B.22 C.4 D.424.下列区间中，函数f(x)=7sin(x6)单调递增
2、的区间是（ ）A.(0, 2) B.( 2 ,) C.( , 32) D.( 32,2 )5.已知F1 ,F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|MF2|的最大值为（ ）A.13 B.12 C.9 D.66.若tan=-2,则sin1+sin2sin+cos =（ ）A.65 B. 25 C. 25 D. 657.若过点（a ,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）A. eba B. eab C. 0aeb D. 0bea 8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表
3、示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.有一组样本数据x1，x2,xn,由这组数据得到新样本数据y1，y2,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,n),c为非零常数，则（ ）A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据
4、的样本极差相同10.已知O为坐标原点，点P1(cos,sin),P2(cos，-sin),P3(cos(+),sin(+)，A(1，0),则（ ）A.|OP1|=|OP2| B. |AP1|=|AP2| C.OA OP3=OP1OP2 D. OAOP1 =OP2OP3 11.已知点P在圆(x5)2+ (y5)2 =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时，|PB|=32 D.当PBA最大时，|PB|=3212.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1 ，点P满足PB=BC+BB1 ，其中0,1，0
5、,1，则（ ）A当=1时，AB1P的周长为定值 B. 当=1时，三棱锥P-A1BC 的体积为定值C. 当= 12 时，有且仅有一个点P，使得A1PBP D.当= 12 时，有且仅有一个点P，使得A1B平面AB1P三选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=x3(a 2x2x ) 是偶函数，则a=_。14.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p0）的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|=6，则C的准线方程为 。15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为 。16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会
6、沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dml2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm2dm . 20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得5dm12dm ，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么k=1nsk=_dm2 。四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知数列an满足a1=1，an+1an+1，n为奇数，an+2，n为偶数。(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公
7、式；(2)求an的前20项和。18.(12 分)某学校组织一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ,能正确回答B类问题的概率为0.6。 且能正确回答问题的概率与回答次序无关。（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回
8、答哪类问题？并说明理由。19.(12分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知b2=ac,点D在边AC 上，BDsinABC = asinC.(1)证明：BD = b；(2)若AD = 2DC .求cosABC.20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.(1)证明：OACD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上. DE = 2EA .且二面角E-BC-D的大小为45，求三棱锥A-BCD的体积.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，己知点F1(- 17,0)，F2(17,0),点M满足|MFt|-|MF2|=
9、2.记M 的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=12上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|TB|=|TP|TQ| ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。22.(12分)已知函数f(x)=x（1-lnx)。(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b，证明:21a+1b 。新高考卷数学参考答案1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B9.CD 10.AC 11.ACD 12.BD13.a=1 14.x=32 15.1 16.5；2403n+32n17.（1）解：由题意得b1=a2=a1+1
10、=2,b2=a4=a3+1=5b1=a2=a1+1,a2-a1=1. b2=a4=a3+1=a2+3 a4-a2=3.同理a6-a4=3bn=a2n-a2n-2=3.叠加可知a2n-a1=1+3(n-1)a2n=3n-1bn=3n-1.验证可得b1=a2=2，符合上式.（2）解：a2n=a2n-1+1a2n-1=a2n-1=3n-2.设an前20项和为S20S20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20) =145+155=30018.（1）解：由题意得x=0,20,100.P（x=0）=0.2 P(x=20)=0.80.4=0.32 P(x=100)=0.48X020100P0.20.
11、320.48（2）解：小明先选择B，得分为yy=0,80,100P（y=0）=0.4 P(y=80)=0.60.2=0.12 P(y=100)= 0.60.8=0.48y080100p0.40.120.48Ex=54.4 Ey=57.6小明应先选择B.19.（1）由正弦定理得bsinABC=csinc,即sinABC=bsincc又由BDsinABC=asinc，得BDbsincc=asinc,即 BDb=acb2=ac BD=b(2) 由AD=2DC,将AD=2DC,即BD=13BA=23BC|BD|2 = 19|BA|2+ 49|BC|2+ 49BA BCb2=19c2+49a2+49ca
12、a2+c2b22ac 11b2 =3c2+6a2b2 =ac6a2-11ac+3c2=0a=32c或a=13ca=32cb2 =ac b2 =32c2cosABCa2+c2b22ac = 94c2+c232c22c32c=712a=13cb2 =acb2 =13c2cosABC=19c2+c213c22c13c=76(x)综上cosABC=71220.(1)证明：由已知，ABD中AB=AD且O为BD中点AOBD又平面ABD平面BCDAO平面BCD且CD平面BCDAOCD(2)由于OCD为正三角形，边长为1OB=OD=OC=CDBCD=90取OD中点H，连结CH，则CHOD，以H为原点，HC,H
13、D,HZ为x，y，z轴建立空间直角坐标系由可知，平面BCD的法向量m=(0,0,1)设C(32,0,0)，B(0,32,0)，D(0,12,0)则DA=(0,1,)DE=2EADE=23DA=(0,23,23)BE=DEDB=(0,43,23)且BC=(32,32,0)设n平面BEC n=(x,y,z)nBC=0nBE=0，即3x+3y=043y+23z=0n=(3,1,2)由于二面角E-BC-D为45， cos45=22=|cosnm|=23+1+42h=1 V三棱锥ABCD=13SBCD=133421=3621.（1）c=17, 2a=2,a=1,b=4 C表示双曲线的右支方程：x2y21
14、6=1(x1)（2）设T(12,m)，设直线AB的方程为y=k1x12+m，Ax1,y1,Bx2,y2y=k1x12+m16x2y2=16，得16x2k12x2x+14+2k1mx12+m2=1616k12x2+k122k1mx14k12+k1mm216=0TATB=1+k12x112x212=1+k12x1x212x1+x2+14=1+k12k1m14k12m21616k12122k1mk1216k12+14=1+k12m21216k12=1+k12m2+12k1216设kPQ=k2，同理可得TPTQ=1+k22m2+12k2216 所以1+k12m2+12k1216=1+k22m2+12k
15、2216得k2216k12=k1216k22 k12=k22k1k2 k1=k2 即k1+k2=022.（1）f(x)=x-xlnx f(x)=1lnx1=lnx(x0)令f(x)0，则0x1，令f(x)0，则x1f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+).(2)lnaalnbb=1b1a 即1+lnaa=1+lnbb，即f(1a)=f(1b)令p=1a，q=1b，不妨设0p1q，下面证明2p+qe. 先证p+q2，当p2时结论显然成立.当q(1,2)时，p+q2,，则p2-q，2-q1.只需设f(p)f(2-q).即证当q(1,2)时，由f(p)f(2-q)令g(x)=f(x)-f(2-x).g(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-1)2+1当x(1,2)时，-(x-1)2+11，所以g(x)0,g(x)在(1,2)上单调递增，g(q)g(1)=0，即f(q)f(2-q)再设p+q0，当x,+时，fx0q0P11要证qfp即证当P0,1时，有fPfp设hx=fxfx，x0,1，hx=fx+fk=lnxlnx=lnxx设xx2=1 小于1的根为x0，则x在0,x0单调递增，在x0,1单调递减.x1=f1f1021a+1b 。
