1、唐山市20212022学年度高三年级摸底演练数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，或，则（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】利用并集的运算求解即可.【详解】集合，或，则或，故选：D2. 已知虚数单位，若，则（ ）A. B. C. 10D. 2【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出复数的一般形式，结合复数模的求解公式从而可选出正确答案.【详解】解：，则，故选:A.3. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析得到即得解.【详解】由题得，所以.故选：C4. 已知单位向
2、量，满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量垂直可得，结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.【详解】解：因为，是单位向量，所以，因为，所以，即，则，因为与的夹角范围为，所以与的夹角为.故选:C.5. 现有4份不同礼物，若将其全部分给甲乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（ ）A. 10种B. 14种C. 20种D. 28种【答案】B【解析】【分析】将4份不同的礼物分成两组：1份和份；份和份；再分配给甲乙两人，即可求解.【详解】4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和份；份和份；所以不同的分法有种，故选：B.6.
3、 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设终边所在的直线方程为，由已知条件可求出，从而可求出角的余弦值.【详解】解：设终边所在的直线方程为，由题意知，解得或，当时，在不同象限，不符合题意；则，此时.故选:B.【点睛】关键点睛:本题的关键是求出的值，易错点是忽略两点应在同一象限，从而未对答案进行取舍.7. 已知圆O：，设直线l：与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足，则r的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】先求得线段AB垂直平分线的方程，再根据圆O上存在点P满足，则根据
4、垂直平分线与圆有公共点求解即可.【详解】由，令，得，令，得，所以，所以线段的中点为，又，则其垂直平分线斜率为，则垂直平分线的方程为，即，因为圆O上存在点P满足，则垂直平分线与圆有公共点，所以，所以r的最小值为，故选：A8. 若，则（ ）A. 56B. 448C. D. 【答案】D【解析】【分析】转化，写出通项公式，令即得解.【详解】由题意，通项令可得故选：D二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 若随机变量x服从两点分布，则B. 若随机变量Y的方差，则C. 若随
5、机变量服从二项分布，则D. 若随机变量服从正态分布，则【答案】AD【解析】【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.【详解】由条件可知，故A正确；，故B错误；若随机变量服从二项分布，则，故C错误；根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确.故选：AD10. 已知椭圆：的左右焦点分别为，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）A. 5B. 4C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.【详解】由可得，所以，根据对称性只需考虑或，当时，将代
6、入可得，如图：，所以的面积为，当时，由椭圆的定义可知：，由勾股定理可得，因为，所以，解得：，此时的面积为，综上所述：的面积为或.故选：BC.11. 声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）A. 的最大值为B. 为的最小正周期C. 为曲线的对称轴D. 为曲线的对称中心【答案】BD【解析】【分析】分析函数与不能同时取得最大值可判断A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判断B；计算是否成立可判断C；计算是否成立可判断D；进而可得正确选项.【详解】对于A：若的最大值为，则与同时取得
7、最大值，当取得最大值时，可得取不到，若取得最大值时，此时，而取不到，所以与不可能同时取得最大值，故选项A不正确；对于B：因为的最小正周期是，的最小正周期是，且，所以为的最小正周期，故选项B正确；对于C：，所以不恒成立，即，所以不是曲线的对称轴，故选项C不正确；对于D：，所以对于任意的恒成立，所以为曲线的对称中心，故选项D正确；故选：BD.12. 在直四棱柱中，.（ ）A. 在棱AB上存在点P，使得平面B. 在棱BC上存在点P，使得平面C. 若P在棱AB上移动，则D. 在棱上存在点P，使得平面【答案】ABC【解析】【分析】通过线面平行的判定定理来判断AB选项的正确性，根据线线垂直、线面垂直的知识
8、来判断C选项的正确性，利用向量法判断D选项的正确性.【详解】A选项，当是的中点时，依题意可知，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面,平面,所以平面,A选项正确.B选项，设是的中点，是的中点，由上述分析可知平面.由于，平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.B选项正确.C选项，根据已知条件可知四边形是正方形，所以，由于,，所以平面，所以.由于，所以平面，所以.C选项正确.D选项，建立如图所示空间直角坐标系，.设.，此方程组无解，所以在棱上不存在点P，使得平面.D错误.故选：ABC三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆台的轴截面上下底边长分别为2和4，母线长为2，则
9、圆台的体积是_.【答案】【解析】【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到，代入圆台的体积公式，即得解【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此由圆台的体积公式，其中，故答案为：14. 若函数为偶函数，则_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的性质列方程求a.【详解】函数为偶函数， ，即 ，故答案为：1.15. 不过原点的直线l与曲线相切于，相交于点，则_.公式：【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义，求切线方程，代入点后，化简得，即可求得的值.【详解】，过点处的切线方程，切线故点，且，代入切线方程，化简得，即，因为，所以，即.故答案为：16. 设
10、抛物线C：焦点为F，直线与C交于A，B，若，则_，_.【答案】 . . 【解析】【分析】设，联立方程组得到，根据，结合斜率公式化简得到，列出方程，即可得的值，再结合抛物线的定义，即可求解的值.【详解】由题意，设 联立方程组，整理得，可得，因为，可得，即，可得，即，代入可得，整理得，解得，又由，由抛物线的定义，可得，所以.故答案为：，.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知为等差数列，前n项和为，数列是首项为1的等比数列，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）.【解析】【分析】（1）用基本量表
11、示题干中的量，联立求解即可；（2）由，用乘公比错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.，由得.，联立解得，所以.故的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前n项和为，由，得.，上述两式相减，得，所以，即.18. 数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费餐饮服务交通出行购物消费政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：学历小学及
12、以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；学历了解情况低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：0.0500.0100.001k3.8
13、416.63510.828 【答案】（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】【分析】（1）根据题中所给数据完成列联表即可；（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解；（3）根据公式求出，在参照临界值表即可得出结论.【详解】解：（1）列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有人，了解数字人民币的有人，
14、从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.（3）根据列联表得.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.19. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求A；（2）若a=2，l，S分别表示ABC的周长和面积，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，求角；（2）根据余弦定理得，再表示，再利用基本不等式求最大值.【详解】（1）由正弦定理得，由可得，即，因为，所以.（2）由余弦定理可得，所以.（*），所以.将（*）式代入，可得.因为，所以由（*）式
15、可得，即.（等号当且仅当时成立）故的最大值为.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，且PB与面PAD所成角为.（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 过B作于O，连接OP.由面面垂直的性质可得平面PAD，由三角形全等可得，从而可证明平面ABCD，代入锥体体积的公式可求出四棱锥的体积.(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBC、平面APB的法向量，求出向量夹角的余弦值，从而可求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）过B作于O，连接OP.侧面底面ABCD，且交线为
16、AD，平面ABCD，平面PAD，即为PB与面PAD所成的角，于是，.又底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，故O为AD中点，又侧面底面ABCD，且交线为AD，平面PAD，平面ABCD，由题意得.四棱锥P-ABCD的体积.（2）以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则，.，设平面APB的法向量，由，得，取.设平面PBC的法向量，由，得，取.，又二面角A-PB-C为钝二面角，二面角A-PB-C的余弦值为.【点睛】方法点睛:求二面角问题常见的方法有：（1）通过做辅助线，找到所求二面角的平面角，结合解三角形的相关知识求解;（2）建立空间坐标系，求平面的法向
17、量，结合空间向量的知识进行求解.21. 已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，再代入，联立即得解；（2）设l的方程为：，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解【详解】（1）由已知可得，解得又点在E上，由 可得，.双曲线E的方程为.（2）过点的直线l斜率显然存在，设l的方程为：，将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，依题意，且，所以且，因此，可得，.22. 已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：有唯一极值点t，且.【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，结合的单调性和零点，判断函数的单调性；（2）首先求函数的导数，并结合函数的零点，判断函数只有一个极值点，并证明.【详解】解：（1）当时，所以，.显然在上单调递增，又，所以时，；时，因此在上单调递减；在上单调递增.（2）依题意，的定义域为.，令，显然在上单调递增，又，所以存在，使得，且时，；时，因为，所以时，；时，即在上单调递减；在上单调递增，因此有唯一极小值点t.由得，所以.因此，等号当且仅当时成立.故有唯一极值点t，且.
