1、课后限时集训48立体几何中的翻折、探究性、最值问题建议用时：45分钟一、选择题1(2019乐山模拟)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,a,且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线,则三棱锥的体积的最大值为()A.B.C.D.A如图所示,三棱锥ABCD中,ADa,BC,ABACBDCD1,则该三棱锥为满足题意的三棱锥,将BCD看作底面,则当平面ABC平面BCD时,该三棱锥的体积有最大值,此时三棱锥的高h,BCD是等腰直角三角形,则SBCD,综上可得,三棱锥的体积的最大值为.故选A.2.如图,矩形ABCD中,AB2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻转成A1DE(A1平面AB
2、CD),若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在ADE翻转过程中,下列说法错误的是()A与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B异面直线BM与A1E所成角是定值C一定存在某个位置,使DEMOD三棱锥A1ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值C取DC的中点N,连接MN,NB,则MNA1D,NBDE,平面MNB平面A1DE,MB平面A1DE,故A正确；取A1D的中点F,连接MF,EF,则四边形EFMB为平行四边形,则A1EF为异面直线BM与A1E所成角,故B正确；点A关于直线DE的对称点为N,则DE平面AA1N,即过O与DE垂直的直线在平面AA1N上,故C错误；三棱锥A1ADE外接球半径为AD
3、,故D正确二、填空题3(2019荆门一模)如图,在直角梯形ABCD中,ABBC,ADBC,ABBCAD1,点E是线段CD上异于点C,D的动点,EFAD于点F,将DEF沿EF折起到PEF的位置,并使PFAF,则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为_PFAF,PFEF,AFEFF,PF平面ABCD.设PFx,则0x1,且EFDFx.五边形ABCEF的面积为SS梯形ABCDSDEF1x2.五棱锥PABCEF的体积V(3x2)x(3xx3),设f(x)(3xx3),则f(x)(33x2)(1x2),当0x0,f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)0,f(1).五棱锥PABCEF的体积的范围是.4(
4、2019柳州模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB3 cm,BC2 cm,AA12 cm,E为CC1的中点,则一质点自点A出发,沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为_cm.3将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开,使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内,连接AE,如图在RtACE中,AC5,CE1,由勾股定理,得AE2AC2CE226,则AE.将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开,使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内,连接AE,如图,在RtABE中,AB3,BE3, 由勾股定理,得AE2AB2BE232323.将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开,使面
5、ABCD和面BCC1B1在同一个平面内,连接AE, 在RtADE中,DE4,AD2,由勾股定理,得AE2AD2DE220,则AE2.综上可知,故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为3cm.三、解答题5(2019湖南六校联考)如图,梯形EFBC中,ECFB,EFBF,BFEC4,EF2,A是BF的中点,ADEC,D在EC上,将四边形AFED沿AD折起,使得平面AFED平面ABCD,点M是线段EC上异于E,C的任意一点(1)当点M是EC的中点时,求证：BM平面AFED；(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为时,求三棱锥EBDM的体积解(1)法一：(几何法)取ED的中点N,连接M
6、N,AN,点M是EC的中点,MNDC,且MNDC,而AB DC,且ABDC,MN綊AB,即四边形ABMN是平行四边形,BMAN,又BM平面AFED,AN平面AFED,BM平面AFED.法二：(坐标法)ADCD,ADED,平面AFED平面ABCD,平面AFED平面ABCDAD,DA,DC,DE两两垂直以DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1),(2,0,1),又平面AFED的一个法向量(0,4,0),0,又BM平面AFED,BM平面AFED.(2)依题意设点
7、M(0t4),设平面BDM的法向量n1(x,y,z),则n12x2y0,n1tyz0,令y1,则n1,取平面ABF的一个法向量n2(1,0,0),|cosn1,n2|,解得t2.M(0,2,1)为EC的中点,SDEMSCDE2,又点B到平面DEM的距离h2,VEBDMVBDEMSDEMh.6.如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,BCD120,四边形ACFE为矩形,且CF平面ABCD,ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值解(1)证明：设ADCDBC1,ABCD,BCD120
8、,AB2,AC2AB2BC22ABBCcos 603,AB2AC2BC2,则BCAC.CF平面ABCD,AC平面ABCD,ACCF,而CFBCC,CF,BC平面BCF,AC平面BCF.EFAC,EF平面BCF.(2)以C为坐标原点,分别以直线CA,CB,CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设FM(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),(,1,0),(,1,1)设n(x,y,z)为平面MAB的法向量,由 得取x1,则n(1,)易知m(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,cosn,m.0,当0时,cosn,m取得最小值,当点M与点F重合时,平
9、面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.1(2019河南郑州三测)如图甲,ABC中,ABBC2,ABC90,E,F分别为边AB,AC的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置(如图乙),且PBBE.甲乙(1)证明：EF平面PBE；(2)设N为线段PF上的动点(包含端点),求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值解(1)因为E,F分别为边AB,AC的中点,所以EFBC.因为ABC90,所以EFBE,EFPE,又BEPEE,所以EF平面PBE.(2)取BE的中点O,连接PO,因为PBBEPE,所以POBE.由(1)知EF平面PBE,EF平面BCFE,所以平面P
10、BE平面BCFE.又PO平面PBE,平面PBE平面BCFEBE,所以PO平面BCFE.过点O作OMBC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B,P,C,F,由N为线段PF上一动点,得(01),则可得N,.设平面PCF的法向量为m(x,y,z),则即取y1,则x1,z,所以m(1,1,)为平面PCF的一个法向量设直线BN与平面PCF所成的角为,则sin |cos,m|(当且仅当时取等号),所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为.2.在直角三角形ABC中,C90,AC4,BC2,E是AC的中点,F是线段AB上一个动点,且(01),如
11、图所示,沿BE将CEB翻折至DEB的位置,使得平面DEB平面ABE.(1)当时,证明：BD平面DEF.(2)是否存在,使得DF与平面ADE所成角的正弦值为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由解(1)证明：在ABC中,C90,即ACBC,则BDDE.取BF的中点N,连接CN交BE于M,当时,F是AN的中点,而E是AC的中点,所以EF是ANC的中位线,所以EFCN,在BEF中,N是BF的中点,所以M是BE的中点,在RtBCE中,ECBC2,所以CMBE,则EFBE,又平面DEB平面ABE,平面DBE平面ABEBE,所以EF平面DBE,因为BD平面DBE,所以EFBD.而EFDEE,所以BD平面
12、DEF.(2)连接DM.以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),由(1)知M是BE的中点,DMBE,又平面DEB平面ABE,所以DM平面ABE,则D(1,1,)假设存在满足题意的,则由,可得F(44,2,0),则(34,21,),(2,0,0),(3,1,),设平面ADE的一个法向量为n(x,y,z),则即令y,可得x0,z1,即n(0,1)设DF与平面ADE所成的角为,则sin ,解得或3(舍去)综上可知,存在,使得DF与平面ADE所成角的正弦值为.(2019长沙一模)已知
13、三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,ABE和BCF均为正三角形,在三棱锥PABC中；图1图2(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求二面角PBCM的余弦值解(1)证明：三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长等于的正方形,ABE和BCF均为正三角形,PAPBPCBCAB,APCABC90,APBBPC60,取AC中点O,连接PO,BO,则POAC,BOAC,且POAOCOBO1,PO2BO2PB2,POBO,平面PAC平面ABC.(2)由(1)知,BOPO,BOAC,POACO,BO平面PAC,BMO是直线BM与平面PAC所成角,且tanBMO,当OM最短时,即M是PA中点时,BMO最大,由PO平面ABC,OBAC,得POOB,POOC,以OC,OB,OP所成直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),M,(1,1,0),(1,0,1),设平面MBC的法向量m(x,y,z),则取x1,得m(1,1,3),设平面PBC的法向量n(x,y,z),则取x1,得n(1,1,1),设二面角PBCM的平面角为,则cos .二面角PBCM的余弦值为.图1图2
